2025-2026学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=2x2-3的对称轴是（ ）
A. y轴B. 直线x=2C. 直线D. 直线x=-3
2.已知⊙O的半径是8cm,则⊙O中最长弦长是（ ）
A. 6cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm
3.在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（ ）
A. （-1，-3）B. （-1，3）C. （1，-3）D. （1，3）
4.如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A=45°，则∠BOC的度数为（ ）​
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 135°
5.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. -9B. C. D. 9
6.某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为y万元，如果每月平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是（ ）
A. y=100（1+x）2B. y=100+100×2x
C. y=100+100×3xD. y=100[1+（1+x）+（1+x）2]
7.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°
8.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（ ）
A. B. C. 2D.
9.在“探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）.同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y=ax2+bx+c,则a+b+c的最大值等于（ ）
A. -5B. C. 2D. 5
10.已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：则当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A. 2＜y＜6B. 2≤y＜6C. 3＜y＜6D. 3≤y＜6
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知一元二次方程x2+kx+6=0有一个根为-1，则方程的另一根为 .
12.将抛物线y=-2x2+3绕点O顺时针旋转180°后，得到的抛物线解析式为 .
13.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB=18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD= cm．
14.如图为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x轴的一个交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 .
15.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC+BD=6，∠AOB=45°，则四边形ABCD面积的最大值为 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上.若∠ADE=70°，则∠AOC= ______度.
17.(本小题8分)
用适当的方法解一元二次方程x2-2x-15=0.
18.(本小题8分)
如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______.
19.(本小题8分)
某校组织“学生男子篮球比赛”活动，比赛采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要比赛一场），共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛？
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
21.(本小题8分)
已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BC=5，CD=3，求AB的长．
22.(本小题10分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-2，0），C（0，-2）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
23.(本小题10分)
某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润y（万元）与成本x（万元）满足，乙每月的利润y（万元）与成本x（万元）满足.
（1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本a（a＞0）万元，一个月后两商品的利润相等，求a的值；
（2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加25%后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润.
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°.，点D始终在AC的上方，且∠CAD=α（0°＜α＜180°），点E为射线AD上任意一点（点E与点A不重合），连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，直线FB交直线AD于点M.
（1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证BM⊥AE；
（2）当点Q为AC边的中点时，连接MQ，求MQ的最大值；
（3）如图2，若α=105°，AE=2时，求△BCF的面积.
25.(本小题14分)
如图，抛物线y=-x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，与x轴负半轴相交于点A.
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线的顶点.P为对称轴右侧抛物线上一点，连接PC、BD交于点E，若BE=CE，求点P的坐标；
（3）点Q为x轴上方抛物线上一动点，点G是抛物线对称轴与x轴的交点.直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.以下两个结论：①GM+GN为定值；②GM-GN为定值.请找出正确的结论，并求出该定值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】-6
12.【答案】y=2x2-3
13.【答案】3
14.【答案】-2＜x＜6
15.【答案】
16.【答案】140
17.【答案】解：x2-2x-15=0，
（x-5）（x+3）=0，
x-5=0或x+3=0，
所以x1=5，x2=-3．
18.【答案】（1，2）
19.【答案】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意得：x（x-1）=28，
整理得：x2-x-56=0，
解得：x1=8，x2=-7（不符合题意，舍去）．
答：共有8支队伍参加比赛．
20.【答案】（1）证明：∵a=1，b=-2，c=-3m2，
∴Δ=（-2）2-4×1•（-3m2）
=4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ=-3m2，
∴-3m2=-3，
∴m=±1，
∴m的值为±1．
21.【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，
∴∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，

∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵∠B=∠C，∠EDC=∠C，
∴∠EDC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE•CB=CD•CA，
∴×5=3CA，
∴CA=，
∵AB=AC，
∴AB=．
方法二：
解：连接BD，

∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设AB=a，
由（1）知AC=AB=a，
则AD=a-3，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2=CB2-CD2=52-32=42=16，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
AB2=BD2+AD2，
∴a2=42+（a-3）2，
整理得：a=，
即：AB=．
22.【答案】解：（1）由题意，将A（-2，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得
∴
∴二次函数的表达式为y=x2+x-2．
（2）由题意，设P（m,n）（m＜0，n＞0），
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴，．
∴．
又CO=2，
∴n=2CO=4．
由m2+m-2=4，
∴m1=-3，m2=2 （舍去）．
∴点P坐标为（-3，4）．
23.【答案】解：（1）由题意，得，
整理得a2-18a=0，
解得a1=18，a2=0 （舍去），
∴a=18；
（2）由（1）可得一月份的利润为（万元），
∴（万元），
设投入乙商品的成本x万元，则投入甲商品的成本（18-x）万元，二月份获利W万元，
由题意得，
∴当x=9时，W取得最大值，18-9=9（万元），
∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元．
24.【答案】（1）证明：设BC、AD交于点O，

∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴CE=CF，∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵CB=CA，
∴△CBF≌△CAE（SAS），
∴∠CBF=∠CAE，
∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=BOM，
∴∠CBF+∠BOM=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BM⊥AE；
（2）解：当90°＜α＜180°时，MQ有最大值，
如图，取AB的中点N，连接NQ，MN，

∵∠ACB=90°，CB=CA=4，
∴AB==8，∠BAC=45°，
由（1）知BM⊥AE，
∴MN=AB=4，
∵Q为AC边的中点，N为AB的中点，
∴QN=BC=2，
由三角形的三边关系得MQ＞MN+QN，
∴当M、N、Q三点共线时，MQ的最大值为MN+QN=4+2，
即MQ的最大值为4+2；
（3）解：过点C作CG⊥BM于G，作CH⊥AM于H，

∵BM⊥AE，
∴四边形MHCG是矩形，
∴∠HCG=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCG，
∵∠AHC=∠BGC，CB=CA=4，
∴△ACH≌△BCG（AAS），
∴CG=CH，BG=AH，
∴四边形MHCG是正方形，
∴MH=MG=AM+AH，
∴BM=MG+BG=AM+AH+AH=AM+2AH，
∵∠CAD=α=105°，∠BAC=45°，
∴∠BAM=60°，
∵BM⊥AE，
∴∠ABM=30°，
∴AM=AB=4，BM=AM=4，
∵BM-BG=AM+2AH，
∴4=4+2AH，
∴AH=BG=2-2，
∴CG=CH=MH=AM+AH=2+2，
由（1）知CBF≌△CAE，
∴△BCF的面积=△CAE的面积=×2×（2+2=2+2．
即△BCF的面积为2+2．
25.【答案】y=-x2+2x+3；
；
①GM+GN是定值，定值为8 x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
6
3
2
3
m
…