（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义01 利用基本不等式求最值+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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1.重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立.
2.基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.
4.利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
例1．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
例2．已知正数满足.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
例3．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
例4．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
【过关测试】
一、单选题
1．的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
5．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立
6．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
7．若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A．B．3C．D．1
二、多选题
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
三、填空题
12．若，则的最小值为___________.
13．若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
14．已知为正实数，则的最小值为__________．
四、解答题
15．（1）求函数的最小值.
（2）已知，，且，求的最小值.
16．（1）已知，且，求的最大值.
（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.
17．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
18．已知，且.
(1)求的最小值.
(2)是否存在正实数，使得？请说明理由.
19．设函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
基本不等式 随堂检测
不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )
A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2} C.{x|1＜x＜2} D.{x|x＜1或x＞2}
函数f(x)=的定义域是( )
A.(－∞，1)∪(3，＋∞) B.(1,3)
C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D.(1,2)∪(2,3)
已知a＞0，b＞0，a＋b=2，则y=eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A.eq \f(7,2) B.4 C.eq \f(9,2) D.5
下列命题中正确的是( )
A.函数y=x＋eq \f(1,x)的最小值为2
B.函数y=eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值为2
C.函数y=2－3x－eq \f(4,x)(x＞0)的最小值为2－4eq \r(3)
D.函数y=2－3x－eq \f(4,x)(x＞0)的最大值为2－4eq \r(3)
已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(- eq \f(1,3)，- eq \f(1,2))，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为__________.
已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.
已知正实数a，b满足a＋b＝4，则eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为________.
已知实数x，y均大于零，且x＋2y=4，则lg2x＋lg2y的最大值为________.
已知x