（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题10 数系的扩充和复数的概念（2份，原卷版+解析版）

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1．复数的定义及其分类
①定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定
②复数的分类：
2．复数相等
在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且
考点一 复数的有关概念
例1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数D．复数的虚部是
【答案】C
【分析】根据复数的概念即可求解.
【详解】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.故选：.
练习1．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，，解得：，
故选：A.
练习2．（多选）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，求出或，
结合，求出的值.
【详解】由条件知，，∴，∴或，
∵，∴，或．故选：ABD．
练习3．若，则______．
【答案】
【分析】根据虚数单位的运算法则计算可得.
【详解】.故答案为：
考点二 复数的分类
例2．设，“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，
，解得或，故不必要，故选：A
练习1．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．
【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2．
故选：C．
练习2．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）．
①； ②； ③； ④．
【答案】②
【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④
【详解】，则①判断正确；，则②判断错误；
，则③判断正确；，则④判断正确故答案为：②
练习3．求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数．
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可.
【详解】（1）由题知，
复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，所以当时，复数为纯虚数.
考点三 复数相等
例3．若复数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数相等可得出关于实数的等式组，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，解得.故选：B.
练习1．已知集合，，讨论实数m取何值时：
(1)；(2)．
【答案】(1);(2)或.
【分析】（1）判断出，即可求得；（2）由得到，分类讨论，分别列方程，利用复数相等的条件即可求得.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以.
所以，所以恒成立.即无论实数m取任何值，恒成立.故.
（2）因为，所以.
因为，，
所以或.
当时，有：，解得：；
当时，有：，解得：.
综上所述：或.
练习2．定义运算：，若复数满足，求xy的值．
【答案】
【分析】根据运算：，化简，再利用复数相等求解.
【详解】解：因为运算：，所以，即为，则，
因为，所以，则.
练习3．已知实数m满足，求m及x的值．
【答案】，.
【分析】方程变形得，由复数相等列式求解即可
【详解】实数m满足，则，
∴，解得，.
一、单选题
1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．0或1
【答案】C
【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可.
【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：C.
2．下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．
【详解】，故A 正确；，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；若，取则，故D错
故选：A
3．已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于csα的一元二次方程，解方程求得csα，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果.
【详解】由题意可得，,或
·故选：B．
4．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.
【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，
因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D
5．已知复数，现有如下说法：①；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正数，则正确说法的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】先利用二倍角公式化简复数z，再由复数的概念及模的求法分析即可得答案.
【详解】由题意可得：，，故①正确；
∵，即为第四象限角，则有：复数z的实部为，为正数，故②正确；
复数z的虚部为，为负数，故③错误.故选：B.
6．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得，，进而即得.
【详解】因为，所以，，即，，所以．
故选：D．
7．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数相等的条件，结合虚部的概念求解即可
【详解】因为，故，故复数的虚部为2，故选：D
8．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（ ）
A．B．2C．2或D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义列方程求实数x的值．
【详解】若是纯虚数，则，解得：，故选：B
二、多选题
9．（下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的概念逐项分析即得.
【详解】由复数的定义可知A命题正确；形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；
若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误．
故选：BCD．
三、填空题
10．复数的虚部是__________.
【答案】
【分析】利用复数的相关概念即可得解.
【详解】由复数虚部的概念，易知复数的虚部为.故答案为：.
11．已知复数，则复数的实部为___________.
【答案】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值将复数化简，再判断其实部即可.
【详解】解：
所以复数的实部为；故答案为：
12．已知，求x和y的值___________.
【答案】
【分析】利用复数相等即可得出．
【详解】，，，，解得．故答案为：．
四、解答题
13．已知复数，．
(1)若是实数，求的值．
(2)若是纯虚数，求的值．
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）由题意可知虚部为0，解一元二次方程即可；
（2）由题意可知实部为0，虚部不为0，解方程组即可.
【详解】（1）因为为实数，所以，解得或；
（2）因为是纯虚数，所以有，解得.
14．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1) ；
(2).
【答案】(1)；(2)x＝3.
【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答.
（1）因x，y∈R，，则有，解得，
所以.
（2）因x∈R，，于是得，解得，所以.
复数的分类
充要条件
集合表示
实数
虚数
纯虚数
且
考点一
复数的有关概念
考点二
复数的分类
考点三
复数相等