黑龙江省七台河市2026届数学九年级第一学期期末检测模拟试题含解析

这是一份黑龙江省七台河市2026届数学九年级第一学期期末检测模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，抛物线y＝，已知二次函数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为 （ ）
A．B．C．D．
2．如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )
A．4B．2.4C．4.8D．5
3．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
4．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0B．m+n＞0C．m＜nD．m＞n
5．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．(2，3)B．(﹣2，3)C．(2，﹣3)D．(﹣2，﹣3)
7．已知二次函数（为常数），当时，函数值的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，则等于( )
A．3B．4C．5D．6
9．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠EB．C．AB∥DED．
10． “割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）．
A．1B．3C．3.1D．3.14
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝____°．
13．如图，的半径长为，与相切于点，交半径的延长线于点，长为，，垂足为，则图中阴影部分的面积为_______．
14．已知是一张等腰直角三角形板，，要在这张纸板中剪取正方形(剪法如图1所示)，图1中剪法称为第次剪取，记所得的正方形面积为；按照图1中的剪法，在余下的和中，分别剪取两个全等正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为，(如图2) ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形的面积和为，(如图3)；继续操作下去···则第次剪取后， ___________．
15．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm．
16．如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是__________．
17．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
18．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
20．（6分）解方程：x2-7x-18=0.
21．（6分）如图，矩形中，点为边上一点，过点作的垂线交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
22．（8分）锐角中，，为边上的高线，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．
（1）当恰好落在边上（如图2）时，求；
（2）正方形与公共部分的面积为时，求的值．
23．（8分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且.
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的半径．
24．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
26．（10分）材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．
图1
图2
材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10 m，间距AB为32 m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2 m；
图3
为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图：
甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；
乙同学：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；
丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
（2）距离点P水平距离为4 m和8 m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】根据配方法的定义即可得到答案.
【详解】将原式变形可得：x2＋4x＋4－3＝0,即（x＋2）2＝3，故答案选C.
本题主要考查了配方法解一元二次方程，解本题的要点在于将左边配成完全平方式，右边化为常数.
2、C
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【详解】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴
∴
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
∴BC⋅AE=24，

故选C.
3、C
【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF；连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG；在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF=AC；DF=AD．
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE=AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE=AE，
∴AE＜BG．故④错误．
故选C．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
4、D
【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】∵y=−的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞1；
∵b＞1，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜1．
∴n＜1＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选D．
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．
5、B
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为r．
由题意：=6π，
∴r=9，
∴S扇形==27π，
故选B．
本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6、A
【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.
【详解】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.
7、B
【分析】函数配方后得，抛物线开口向上，在时，取最小值为-3，列方程求解可得．
【详解】∵，
∴ 抛物线开口向上，且对称轴为，
∴在时，有最小值-3，
即：，解得，
故选：B．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．
8、D
【分析】根据点平移规律，得到点A平移后的点的坐标为（2,3），由此计算k值.
【详解】∵已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，
∴点A平移后的点坐标为（2,3），
∵点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴，
故选：D.
此题考查点平移的规律，点沿着x轴左右平移的规律是：左减右加；点沿着y轴上下平移的规律是：上加下减，熟记规律是解题的关键.
9、D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.
10、B
【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．
【详解】∵是圆的内接正十二边形，
∴，
∵，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选B．
本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12、46°
【分析】连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠DCB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠DCB=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
13、
【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据，计算即可．
【详解】∵BA与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵OA=2，AB=2，
∴，
∵，
∴∠B=30°，
∴∠O=60°，
∵，
∴∠OHA=90°，
∴∠OAH=30°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了切线的性质、勾股定理的运用以及扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
14、
【分析】根据题意可求得△ABC的面积，且可得出每个正方形是剩余三角形面积的一半，即为上一次剪得的正方形面积的一半，可得出与△ABC的面积之间的关系，可求得答案．
【详解】∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DE⊥AC，
∴AE=DE=DF=BF，
∴，
同理每次剪得的正方形的面积都是所在三角形面积的一半，
∴，
同理可得，
依此类推可得，
故答案为：
本题主要考查了正方形与等腰直角三角形的性质，根据条件找到与之间的关系是解题的关键．注意规律的总结与归纳．
15、1
【分析】由弧长公式：计算．
【详解】解：由题意得：圆的半径．
故本题答案为：1．
本题考查了弧长公式．
16、2：1
【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可．
【详解】解：由题意可得出，
∵的周长与的周长比=
故答案为：2：1．
本题考查的知识点是位似变化，根据题目找出两个图形的位似比是解此题的关键．
17、y3>y1>y2.
【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
18、54
【解析】设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得，即，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．
三、解答题(共66分)
19、（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
20、
【分析】利用因式分解法求解即可.
【详解】
因式分解，得
于是得或

故原方程的解为：.
本题考查了一元二次方程的解法，其主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字相乘法）等，熟记各解法是解题关键.
21、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据同角的余角相等推出，结合即可判定相似；
（2）根据条件可得CD=2，再利用相似三角形对应边成比例，建立方程即可求出DE.
【详解】解：（1），
又
（2）
，
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型的证明方法是解题的关键.
22、（1）；（2）或1．
【解析】（1）根据已知条件，求出AD的值，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出x的值即可；
（2）当正方形与公共部分的面积为时，可分两种情况，一是当 在△ABC的内部，二是当 在△ABC的外部，当当 在△ABC的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可．
【详解】解：（1）∵，为边上的高线，，
∴
∴AD=1，
设AD交MN于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，解得，
∴当恰好落在边上时，
（2）①当 在△ABC的内部时，正方形与公共部分的面积即为正方形的面积，
∴，解得
②当 在△ABC的外部时，如下图所示，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，
设HD=a，则AH=1-a，
由得，解得
∴矩形MEFN的面积为
即
解得（舍去），
综上：正方形与公共部分的面积为时，或1．
本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四边相等的性质以及方程思想，列出比例式是解题的关键．
23、 (1)证明见解析；(2)的半径为1.
【分析】（1）如图（见解析），连接OD，先根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余得，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；
（2）先根据圆的切线的判定定理得出是的切线，再根据切线长定理可得，从而可得AC的长，最后在中，利用直角三角形的性质即可得.
【详解】如图，连接
又，则
，且OD为的半径
是的切线；
（2），是直径
是的切线
由（1）知，是的切线
在中，，则
故的半径为1.
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC的长是解题关键.
24、（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；
（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；
（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；
（2）设点D（m， m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），
∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA
＝
＝﹣（m﹣2）2+16，
当m＝2时，S有最大值为16；
（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，
圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．
∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，
∴∠CRN＝∠MBR，
∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，
∴△BMR≌△RNC（AAS），
∴CN＝RM，RN＝BM，
即m+2＝n+4，﹣n＝m，
解得：m＝1，n＝﹣1，
即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，
圆的半径为：＝，
则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，（3）的难点是作出辅助圆．
25、 (1)证明见解析；(2)FG=2.
【解析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；
(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.
【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∴，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
；
(2)四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即，
解得，．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
26、（1）甲，C（16，0），主索抛物线的表达式为；（2）四根吊索的总长度为13m；
【分析】（1）利用待定系数法求取解析式即可；
（2）利用抛物线对称性进一步求解即可.
【详解】（1）甲，C（16，0）
解：设抛物线的表达式为
由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，-8）
将C（16，0），P（0，-8）代入，得
解得.
∴主索抛物线的表达式为
（2）x=4时，，此时吊索的长度为m.
由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为m.
同理，x=8时，，此时吊索的长度为m
x=-8时，此时吊索的长度也为4m.
∴四根吊索的总长度为13m
本题主要考查了抛物线解析式的求取与性质，熟练掌握相关概念是解题关键.