2026届黑龙江省七台河市名校数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析

这是一份2026届黑龙江省七台河市名校数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析，共18页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列关系式中，是反比例函数的是，已知两个相似三角形的相似比为4，sin 30°的值为，下列事件中，是随机事件的是，若点等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列四个点中，在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．（x﹣5）（x+2）＝0
C．x2﹣x+1＝0D．x2＝1
3．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
4．已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．4B．2C．1D．﹣4
6．下列关系式中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A．B．C．D．
8．sin 30°的值为（ ）
A．B．C．1D．
9．下列事件中，是随机事件的是（）
A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和为360°
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯D．通常加热到100℃时，水沸腾
10．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x10x2x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1y2y3B．y3y2y1C．y2y3y1D．y1y3y2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.
12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．
13．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为1 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm1．
14．关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
15．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝1．如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E．记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．
16．抛物线的顶点坐标是__________．
17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____．
18．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，则BC的长为____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC．
(1) 判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 若BE=，DE=3，求⊙O的半径及AC的长．
20．（6分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝1．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
21．（6分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
22．（8分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
23．（8分）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
24．（8分）如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．
25．（10分）如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的一个动点（点E可以与点A和点C重合），连接BE．已知AB=3cm，BC=4cm．设A、E两点间的距离为xcm，BE的长度为ycm．
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为 cm．（结果保留一位小数）
26．（10分）一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度与水平距离之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点时，达到最大高度，橄榄球在距离原点13米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先分别计算四个点的横、纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵﹣3×（﹣2）＝6，3×2＝6，﹣2×3＝﹣6，﹣2×（﹣3）＝6，
∴点（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．
故选：C．
此题考查的是判断在反比例函数图象上的点，掌握点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数即可判断该点在反比例函数图象上是解决此题的关键．
2、C
【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断．
【详解】解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；
C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；
D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；
故选：C．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
3、B
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
考点：圆锥的计算
4、D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，
解得k＝1．
故选：D．
本题考查一元二次方程的解. 熟记一元二次方程解得定义是解决此题的关键.
5、A
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选A．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键．
6、B
【解析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的定义可得答案．
【详解】解：y=2x-1是一次函数，故A错误；
是反比例函数，故B正确；
y=x2是二次函数，故C错误；
是一次函数，故D错误；
故选：B．
此题考查反比例函数、一次函数、二次函数的定义，解题关键在于理解和掌握反比例函数、一次函数、二次函数的意义．
7、B
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9，故答案选择B.
本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.
8、B
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.
【详解】sin 30°=，
故选：B.
此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9、C
【分析】根据事件发生的可能性判断，一定条件下，一定发生的事件称为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件.
【详解】解：A选项是明天太阳从东方升起必然事件，不符合题意；
因为三角形的内角和为，B选项三角形内角和是360°是不可能事件，不符合题意；
C选项遇到红灯是可能发生的，是随机事件，符合题意；
D选项通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意.
故选：C
本题考查了事件的可能性，熟练掌握必然事件、不可能事件、可能事件的概念是解题的关键.
10、D
【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】分别求出矩形ABCD的面积和阴影部分的面积即可确定概率.
【详解】设每相邻两个点之间的距离为a
则矩形ABCD的面积为
而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为
∴小球停留在阴影区域的概率为
故答案为
本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.
12、0.1
【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，所以估计种子发芽的概率为0.101，再精确到0.1，即可得出答案．
【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，
故可以估计种子发芽的概率为0.101，精确到0.1，即为0.1，故本题答案为：0.1．
本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13、
【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1
则边BC扫过区域的面积为：
故答案为．
考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.
14、
【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得.
故答案为：.
本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．
15、y＝﹣3x+1
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，∴y＝﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣3x+1．
本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出是关键.
16、（-1,-3）
【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案．
【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为（-1，-3）．
本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键．
17、21π．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．
故答案为21π．
本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18、1
【分析】由csB==可设BC=3x，则AB=5x，根据AB=10，求得x的值,进而得出BC的值即可．
【详解】解：如图，
∵Rt△ABC中，csB==，
∴设BC=3x，则AB=5x=10，
∴x=2,BC=1,
故答案为：1．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）DC是⊙O的切线，理由见解析；（2）半径为1，AC=
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得，推出r=1，可得OE=2，即有，可推出，则利用勾股定理和含有30°的直角三角形的性质，可求得OC=2，，再利用勾股定理求出即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解： 设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴，
∴
∴OE=3-1=2
Rt△ABC中，
∴
∴
Rt△BCO中,,
Rt△ABC中,
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟悉相关性质定理是解题的关键．
20、（1）1：1；（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；见解析；②如图1所示，作点A的对称点A′，见解析；
【分析】（1）根据两条直线平行、对应线段成比例即可解答；
（2）①先用勾股定理求得AB的长，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②先作点A关于BD的对称点A'，连接A'C与BD的交点即为要找的点P.
【详解】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴，
故答案为1：1．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图1所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
本题考查了相似三角形的做法，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.
21、（1）y＝﹣x2+4x；（2）P（2,2）；（3）S△MOC最大值为．
【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；
（2）点A关于C2对称轴的对称点是点O（0，0），连接OC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+x，即可求解．
【详解】（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），
∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，
则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：
0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，
故点C（3，3），
连接OC交函数C2的对称轴与点P，
此时PA+PC的值最小为：线OC的长度;
设OC所在直线方程为：
将点O（0，0），C（3，3）带入方程，解得k=1，
所以OC所在直线方程为：
点P在函数C2的对称轴上，令x=2,带入直线方程得y=2,
点P坐标为（2，2）
（3）由（2）知OC所在直线的表达式为：y＝x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，
设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则MH=﹣x2+4x﹣x
则S△MOC=S△MOH+S△MCH
=MH×xC = （﹣x2+4x﹣x）=
∵△MOC的面积是一个关于x的二次函数，且开口向下
其顶点就是它的最大值。其对称轴为x==，此时y=
S△MOC最大值为．
本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
22、（1）证明见解析；（2）①存在，矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为；②．
【解析】试题分析：（1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）①易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．
②根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．
试题解析：解：（1）证明：如图，
∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．
（2）①存在．
如答图1，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴．
∵AD=1，AB=2，∴BD=5.
∴. ∴S矩形ABCD=2S△CFE=．
∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如答图1所示．
此时，CF=CB=1．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如答图2所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=2．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如答图2所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．
∴1×2=5×CF″′．∴CF″′=．
∴≤CF≤1．
∵S矩形ABCD=，∴，即．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．
②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．
∴，即，解得．
∴点G移动路线的长为．
考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；2.垂线段最短的性质；1.直角三角形斜边上的中线的性质；5.矩形的判定和性质；6.圆周角定理；7.切线的性质；8.相似三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．
23、（1）二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1；一次函数解析式为y=x﹣1．（2）1≤x≤2．
【分析】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式．
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
【详解】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1．
∴二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．
当x=0时，y=2﹣1=3，∴C点坐标为（0，3）．
∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，
∴B点坐标为（2，3）．
将A（1，0）、B（2，3）代入y=kx+b得，
，解得．
∴一次函数解析式为y=x﹣1．
（2）∵A、B坐标为（1，0），（2，3），
∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤2．
24、长方框的宽度为10厘米
【分析】设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，
依题意，得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，
整理，得：x2﹣70x+600＝0，
解得：x1＝10，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：长方框的宽度为10厘米．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25、解：（1）2.5；（2）图象见解析；（3）1.2（1.1—1.3均可）
【分析】（1）根据画图测量即可；
（2）按照（1）中数据描点画图即可；
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，画出图形观察图像即可得到值.
【详解】解：（1）根据测量可得：2.5；
（2）根据数据描点画图，即可画图象

（3）当BE=2AE时，即y=2x时，如图，y=2x与原函数图像的交点M的横坐标即为所求，可得AE≈1.2（1.1—1.3均可）.
本题为动点问题的函数图象探究题，解答时用到了数形结合和转化的数学思想．
26、（1）（2）
【分析】（1）由题意知：抛物线的顶点坐标设二次函数的解析式为
把代入即可得到答案，
（2）令求解的值即可．
【详解】解：（1）由题意知：抛物线的顶点为：
设二次函数的解析式为
把代入
解得：
则二次函数的解析式为：
（2）由题意可得：当
运动员出手时橄榄球的高度米．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握顶点式法求函数解析式是解题的关键．
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数
85
298
652
793
1604
4005
发芽频率
0.850
0.745
0.815
0.793
0.802
0.801