福建省福州仓山区七校联考2026届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

这是一份福建省福州仓山区七校联考2026届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析，共22页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A．B．C．D．
2．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( )
A．80米B．85米C．120米D．125米
3．用配方法解方程时，原方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是( )
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．2020年1月27日杭州会下雪是随机事件
C．概率很小的事情不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
5．若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（ ）
A．B．2C．D．
7．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4xB．＝3C．y＝﹣D．y＝x2﹣1
8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1B．x2+2x+1C．x2﹣2x+1D．x（x﹣2）﹣（x﹣2）
10．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于_____度．
12．如图，从一块直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形，使点在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________．
13．如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．
14．因式分解：_______________________．
15．工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取50件进行检检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
16．已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．
17．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则__________．
18．如图，是的中线，点在延长线上，交的延长线于点，若，则___________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）根据要求完成下列题目：
（1）图中有 块小正方体；
（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图.
20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围．
21．（6分）如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P.连接AD、BC．OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
（1）求证：△ADP ∽△CBP；
（2）当AB⊥CD时，探究PMO与PNO的数量关系，并说明理由；
（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积.
22．（8分） (1)如图1，在平行四边形ABCD中，点E1，E2是AB三等分点，点F1，F2是CD三等分点，E1F1，E2F2分别交AC于点G1，G2，求证：AG1＝G1G2＝G2C．
(2)如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．(保留作图痕迹)
23．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．
（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
24．（8分）如图，在中，，点P为内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当，求PA+PB+PC的最小值．
25．（10分）如图①，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上，（点与点不重合），我们把这样的两条抛物线和，互称为“友好”抛物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 条；
（2）如图②，已知抛物线与轴相交于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点，求以点为顶点的的“友好”抛物线的表达式；
（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为，请直接写出与的关系式．
26．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由位似图的面积比等于位似比的平方可得答案．
【详解】∵
即四边形和的位似比为
∴四边形和的面积比为
故选：C．
本题考查了位似图的性质，熟记位似图的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
2、D
【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，
解得：x=125米．
故选D．
命题立意：考查利用所学知识解决实际问题的能力．
3、B
【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．
【详解】
故选：B．
本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4、B
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于2并且小于1．
【详解】解：A. 某一事件发生的可能性非常大也是是随机事件，故不正确；
B. 2222年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
C. 概率很小的事情可能发生，故不正确；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1222次，正面朝上的次数大约是522次，故不正确；
故选：B．
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：2≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=2；随机事件，发生的概率大于2并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于2．
5、A
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝1得，a＋b＋c＝1．
【详解】∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝1的解，
∴将x＝1代入方程得a＋b＋c＝1，
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝1中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a＋b＋c＝1；x＝−1时，a−b＋c＝1．
6、A
【解析】试题分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=，则AD=，OD=，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（）2+（）2，解得r=．
考点:（1）垂径定理；（2）勾股定理．
7、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
8、B
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，宽BC＝ycm，
∴AD=BC=ycm，
由折叠的性质得：AE=AB=x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴，即，
∴x2=2y2，
∴x=y，
∴．
故选：B．
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
9、B
【分析】原式各项分解后，即可做出判断．
【详解】A、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；
B、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；
C、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；
D、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，
故选：B．
此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10、B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、30
【解析】首先根据圆周角定理，得∠A=∠BDC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BDC的度数,从而得出结论．
【详解】∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°,
∵∠B＝60°
∴∠BDC＝90°-∠B=90°-60°=30°,
∴∠A=∠BDC=30°,
故答案为30°.
综合运用了圆周角定理以及三角形的内角和定理．
12、
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出BC是⊙O的直径，BC=12cm，根据勾股定理求出AB，再根据弧长公式求出半径r.
【详解】连接BC，
由题意知∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC=12cm，
∵AB=AC，
∴,
∴（cm），
设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，
∵，
∴，
∴r=（cm），
故答案为：.
此题考查圆周角定理，弧长公式，勾股定理，连接BC得到BC是圆的直径是解题的关键.
13、6﹣或6或9﹣3
【分析】可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．
【详解】解：连接OD，过点BH⊥x轴，
①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，
∴AH＝BH＝ABsin45°=，
∴CO＝，
∵BD＝OA＝2，
∴BD＝2，OA＝8，
∴BC＝8﹣，
∴CD＝6﹣；
∵四边形FENA是菱形，
∴∠FAN＝90°，
∴四边形EFAN是正方形，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠DEF＝45°，
∴DE⊥OA，
∴OE＝CD＝6﹣；
②沿着AF翻折，如图2：
∴AE＝EF，
∴B与F重合，
∴∠BDE＝45°，
∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE＝BD＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；
③沿着EF翻折，如图3：
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰三角形，
过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，
∴△EFM∽△DNE，
∴，
∴，
∴NE＝3﹣，
∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；
综上所述：OE的长为6﹣或6或9﹣3，
故答案为6﹣或6或9﹣3．
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.
14、
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.
【详解】解：
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.
15、1
【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．
【详解】解：1000×＝1（件），
故答案为：1．
考查样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．
16、或
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且开口向下，
∵当时，函数有最大值，
①当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
②当时，函数有最大值为1；不符合题意；
③当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
∴m的值为：或；
故答案为：或.
本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.
17、1
【分析】根据在平面直角坐标系中的点关于原点对称的点的坐标为，进而求解．
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：1．
本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点的特征，即两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
18、5
【分析】过D点作DH∥AE交EF于H点，证△BDH∽△BCE，△FDH∽△FAE，根据对应边成比例即可求解.
【详解】过D点作DH∥AE交EF于H点，
∴∠BDH=∠BCE，∠BHD=∠BEC,
∴△BDH∽△BCE
同理可证：△FDH∽△FAE
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
∴
又
∴
∴
∴
故答案为：5
本题考查的是相似三角形，找到两队相似三角形之间的联系是关键.
三、解答题(共66分)
19、6，根据三视图的基本画法，画出其基本三视图
【分析】试题分析：
小正方形的数=3+2+1=6
考点：简单图形三视图的画法
点评：三视图的图形画法是常考知识点，需要考生在熟练把握的基础上画出各种图形的三视图
【详解】
20、（1）m=-2，n=-2；（2）或．
【解析】（1）把A（-2，1）代入反比例函数y=，求出m的值即可；把B（1，n）代入反比例函数的解析式可求出n；
（2）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
【详解】（1）解：∵点A（-2，1）在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）在反比例函数的图象上，
∴．
（2）观察函数图象可知，自变量取值范围是：或．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
21、（1）证明见解析；（2）PMO=PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON=6
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.
【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.
（2）PMO=PNO
因为OM⊥ AD，ON⊥BC，
所以点M、N为AB、CD的中点，
又AB⊥CD，
所以PM=AD,PN=BC，
所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，
所以∠AMP=∠CNP,得到PMO与PNO.
（3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.
因为AB⊥CD，AM=AD,CN=BC，
所以PM=AD,PN=BC.
由三角形中位线性质得，ON=.
因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，
则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，
所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，
所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.
S平行四边形PMON=6
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键.
22、（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理证明即可．
(2)利用(1)中结论，构造平行四边形解决问题即可．
【详解】解：
(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∵DF1＝CD，AE1＝AB，
∴DF1＝AE1，
∴四边形ADF1E1是平行四边形，
∴AD∥E1F1，
∴E1G1∥BC，
∴，
同法可证：，
∴AG1＝CG2＝AC，
∴AG1＝G1G2＝G2C．
(2)如图，点P，Q即为所求．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键.
23、（1）36元；（2）20元；2880元
【解析】（1）每件衬衫降价x元,利用每件利润销售件数=总利润，列方程.
（2）利用每件利润销售件数=总利润列关系式，得到二次函数，求最值即可.
【详解】（1）解：设每件衬衫降价x元，可使每天盈利1600元，
根据题意可列方程：(44-x)(20+5x)=1600，
整理，得 x²-40x+144=0，
解得：x=36或x=4 .
因为尽快减少库存，取x=36 .
答：每件衬衫降价36元更利于销售；
（2）解：设每件衬衫降价a元，可使每天盈利y元，
y=(44-a)(20+5a) =-5 a²+200a+880=-5（a-20）²+2880，
因为-5＜0，所以当a=20时，y有最大值2880.
所以，当每件衬衫降价20元时盈利最大，最大盈利是2880元.
24、（1）等边三角形，见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据旋转的性质可以得出，即可证明出是等边三角形；
（2）绕点A顺时针旋转得到，根据的旋转的性质得到，，相加即可得；
（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的边角关系，从而求出PA+PB+PC的最小值．
【详解】（1）等边三角形；
绕A点顺时针旋转得到MA，
，
是等边三角形.
（2）绕点A顺时针旋转得到，
，由（1）可知，
.
（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小．
连接BN，
由旋转的性质可得：AB=AN，∠BAM=60°
∴是等边三角形；
，
，
是AB的垂直平分线，垂足为点Q，
，
，
，
即的最小值为.
本题为旋转综合题，掌握旋转的性质、等边三角形的判定及性质及理解小华的思路是关键．
25、（1）无数；（2）；（3）
【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.
(2)先设出L4的解析式,求出L3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L4的解析式中即可求解.
(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.
【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.
∴答案为:无数.
（2）把化为顶点式，得
顶点坐标为，
对称轴为
点坐标为，
点关于对称轴的对称点的坐标为，
设的解析式为，
把代入，得
.
解得.
的“友好”抛物线的表达式为：.
（3）由题意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,
∵顶点不重合,∴m≠h,
∴.
本题考查二次函数的性质运用,关键在于根据题意规定的方法代入求解.
26、1
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=1．
本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．