2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（五）（解析版）

这是一份2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（五）（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．2B．3C．5D．7
【答案】C
【详解】，则.
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对于不等式，解得或，即集合或.
已知，在集合中满足的元素有，，，所以.
故选：A.
3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，即 ，
可得 ，
由题意得双曲线的渐近线方程为，即为，
即为
故选：A.
4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于A，函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，
因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数不是奇函数，故C不符题意；
对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意.
故选：A.
5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
结合题意作出的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.
故选：B.
6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得质点P位移为，
所以
因为，，所以，
设的夹角为，所以，
因为所以，
所以.
故选：D
7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】B
【详解】由可得，
故圆心，半径，
直线的方程可化为，
所以直线恒过定点，
因为
所以点在圆内，
由圆的性质可得当时，最小，周长最小，
又，
所以，此时，即直线，
所以圆心到直线的距离，
所以，
所以，
故选：B
8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知，且，
由，得，即，故，
由，则，由，则，
所以，且在上单调递增，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积随的运动而变化
B．平面
C．
D．平面平面
【答案】BD
【详解】A选项，因为，平面，而平面，
所以平面，故上任意一点到平面的距离均相等，
的面积为定值，则三棱锥的体积不变，故A错误；
B选项，由正方体的性质可得且，
又平面，都不在平面内，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，故B正确；
C选项，当与重合时，，所以为等边三角形，
则与的所成角为，所以不成立，C选项错误；
D选项，因为平面，平面，故，
又因为，平面，
所以平面，平面，故，
因为平面，平面，，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故D正确.
故选：BD.
10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（ ）

A．B．
C．的周长可以为14D．当时，
【答案】AC
【详解】对于A，如图，

分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，，
由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为
，
又，∴，解得，故A正确；
对于B，设直线的方程为，，，
又抛物线：，由可得，
则，，，
（当且仅当时等号成立），故B错误；
对于C，∵，，∴，设的周长为，
如图：

过点向抛物线准线作垂线，垂足为，
则，
周长的最小值为，故C正确；
对于D，如图：

∵，∴，
∵，则，解得或（舍），
∴，∴，故D错误.
故选：AC
11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ）
A．B．
C．的周长为D．的面积为3
【答案】AB
【详解】对A，已知，由正弦定理得到，
因为，
代入上式可得：，
，因为，所以，得到，则，故选项 A正确.
对B，由，且，因为，，所以，
可得，.
已知，由正弦定理得，则，.
，
因为，所以.
设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确.
对C，因为，，，根据勾股定理，
的周长为，故选项C错误.
对D，的面积，故选项D错误.
故选：AB.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，则，又，
所以切线方程为：，
因为切线方程经过点，
所以，
解得．
故答案为：
13．已知数列满足，，则其通项公式为 .
【答案】
【详解】不妨设，则，
由
，
经检验当时满足，故，解得，
即数列的通项公式为.
故答案为：.
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 .
【答案】 /
【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为，
且，，即，
又，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，故，
当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为，
且，，即，
又，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，易得，则.
故答案为：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
【详解】（1）由题意可得，解得；1分
（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到：，3分
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即“樱花迷”与性别无关联；5分
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故的可能取值为0，1，2，
则，7分
所以的分布列为
11分
故.13分
16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，3分
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，6分
（2）由（1）有，
所以，8分
上式相加有，
所以，
所以；10分
（3）由（2）有，
所以，12分
所以
，
所以.15分
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．
(1)若平面与直线交于点，求的值；
(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
【详解】（1）在平面内作，
因为平面，平面，平面，
所以，2分
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，，
又，分别为，的中点，
，，设，
，
，，共面，存在实数，，使得，4分
即，
所以，解得，所以；7分
（2）设平面的法向量为，
，解得，令得，
，9分
又，，
设平面的法向量为，
，解得，令得，
，11分
设平面和平面所成的角为，
，
整理得，，，13分
，，
故点到平面的距离为．15分
18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形的面积的最大值．
【详解】（1）由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为．3分
（2）
如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，
利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半．5分
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：，
代入E：，整理得，显然，7分
设，，则，9分
于是，
，11分
点到直线l：的距离为，
则四边形的面积为，14分
令，则，且，代入得，，
当时，等号成立，此时．17分
19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”．
(1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．
(2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围．
(3)设，且，证明：．
【详解】（1）对于，
定义域，找一个值代入看函数值正负.
取，.因为在取合适值时能使，所以不是定义域上“非负函数”. 2分
对于，
定义域，先求导.令，即，解得.
当，，递减；当，，递增.
所以在取最小值，故是上“非负函数”.5分
（2）要使在上为“非负函数”，则在恒成立.
求，令，，再令，.
当，，所以在递减，且.
当，，递增；当，，递减. 8分
，，，所以在递减.
，解得.11分
（3）由，移项得，得.
把代入，有. 13分
因为，两边乘再加，得.
当，；，；；，. 15分
把这些不等式相加：
左边是，右边.
综上，证得.17分
樱花迷
非樱花迷
男
5m
5
女
40
2m
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2