2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（六）（解析版）

这是一份2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（六）（解析版），共14页。试卷主要包含了考试范围，当时，方程的解的个数为，已知纸的长宽比约为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A.
2．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，，
∴结合数轴可知：.
故选：B.
3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．中位数为17B．众数为12
C．第85百分位数为18D．平均成绩为14
【答案】C
【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
对于A：中位数为：，故A错误；
对于B：众数为17，故B错误；
对于C：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故C正确；
对于D：平均数，故D错误；
故答案为：C.
4．已知向量,满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得．故选：A.
5．当时，方程的解的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由，得，
即，所以，
解得，则或，
因为，
当时，则或，
当时，则，
因此共有三个解.
故选：D.
6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，截圆所得的弦长为，故选：C
7．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】不妨设纸的长宽分别为；
当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，
故，
此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；
当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，
故，
此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；
综上所述，，.
故选：B.
8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，，由，
可得，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，可得，
令，其中，则，
当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的有（ ）
A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3
B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是
C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A：设的平均数为，方差为，
则，，
所以，，，的平均数为，
所以方差为
，故选项A不正确；
对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，
故选项B正确；
对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，
而，所以，
则，故选项C正确；
对于D：因为服从二项分布，所以，
所以，则，故选项D正确.
故选：BCD
10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】BC
【解析】设公比为，根据题意有，
所以或，
当时，，，
当时，，故A错误，B正确；
当时，，，
当时，，，
所以，，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC.
11.定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】因为，
取可得，
所以，A错误；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，
用替换可得，，
所以，即，
所以函数为奇函数，B正确；
任取，，
则，
又当时，，且，
所以，故，
所以函数在上单调递减，C正确；
因为，
所以不等式可化为，
所以，又函数在上单调递减，
所以，
所以，所以不等式的解集为，D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12.已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 .
【答案】
【详解】已知，，所以
因为函数在上单调递减，
而函数在上单调递减，所以
由此可得不等式组，解得
则的最大值为
故答案为：
13.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________.
【答案】
【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则，
所以，
所以，
故答案为：
14.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
【答案】5
【解析】由题意可知，
所以由，
由上得，且
所以，
所以，所以即，
令得，故直线经过点，
联立，
所以，
所以同理可得，
所以.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．
【答案】(1)；(2)的最大值为8，.
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以.（2）在中，由余弦定理得，
则，
即，当且仅当时取等号，此时，
所以的最大值为8，.
16．（15分）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，则，，
设，，则，，
设平面的一个法向量为，
，
令得，故，
直线与平面所成角的正弦值为，
即，
化简得，负值舍去，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角余弦值为.
17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
18．（17分）已知，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）设的导函数为，求的单调区间；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）可得，所以，
则，定义域为，
所以，
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由（2）可知在上单调递增，
又，，
又，
所以，即，
所以，使得，
所以当时，即，所以在上单调递减；
当时，即，所以在上单调递增；
又，，
所以，
所以当时，.
19．（17分）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为．
（1）证明：数列都是等比数列；
（2）记，求数列的前n项和；
（3）证明：当时，直线都过定点．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有，
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；
（2）由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，
由数列是公比为的等比数列，有，
有，
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；
（3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，有，
故当时，直线过定点．
0
1
2