2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（七）（解析版）

这是一份2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（七）（解析版），共9页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已如集合A=1，2，3，4，5，B=2−kk∈A，则A∩B=______
1．{1}【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合A=1，2，3，4，5，
B=2−kk∈A=1，0，−1，−2，−3，所以A∩B=1，故答案为：1.
2．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______
2．[1，+∞)【分析】将绝对值不等式移项后两边平方，即可求不等式的解集.
【详解】原不等式等价于|x+1|≥|x−3|，两边平方得x2+2x+1≥x2−6x+9，整理得8x≥8，解得x≥1，故原不等式的解集为[1,+∞).故答案为：[1,+∞).
3．已知点A(−2，3)，B(1，−1)，则AB的单位向量为（用坐标表示）________
3．35，−45【分析】由单位向量的定义求解即可【详解】因为A(−2,3),B(1,−1)，所以AB=3,−4，
AB=32+−42=5 所以AB的单位向量为ABAB=153,−4=35,−45， 故答案为：35，−45.
4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+az+b|z|=0，则a+b=________
4．−15##-0.2【分析】由复数的运算法则与模长公式求解即可.
【详解】因为z=3+4i，所以z=3−4i，z=32+42=5，又z+az+b|z|=0，
所以3+4i+a3−4i+5b=0，即3+3a+5b+4−4ai=0，
所以3+3a+5b=04−4a=0，解得b=−65a=1，所以a+b=−15，故答案为：−15.
5．如图△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，在三角形内
挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为______.
5．5327π【分析】由题意可知，所得的几何体是从一个圆锥中挖去一个球，
用圆锥的体积减去球的体积.【详解】连接OA,OM，因为半圆与AC、AB分別相切于点C,M交BC于点N，
∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=3，所以∠CAO=∠BAO=30°，AC=BCtan30°=3×33=1，
OC=ACtan30°=1×33=33，所以图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积
为13π⋅AC2⋅BC−43π⋅OC3=13π⋅12×3−43π⋅333=5327π故答案为：5327π.
已知 x>0，y>0，且2x+5y=20，则lgx+lgy 的最大值为_______.
6．1【详解】因为2x+5y=20，所以20=2x+5y≥210xy,xy≤10，当且仅当2x=5y=10，x=5，
y=2时取等号. 因此lgx+lgy=lgxy≤lg10=1，即lgx+lgy 的最大值为1.
将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在C的同一侧，
则不同的排法有________种．（用数字作答）
7．96【分析】先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．【详解】解：先排D、E、F，有P33种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有C43C21P22种排法；所以有P33C43C21P22=96种排法．故答案为：96.【点睛】本题主要考查排列组合问题，其中涉及到分步乘法计数原理，属于中档题.不相邻问题采用插空法，求解过程为：对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处.
袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.
8．1N+1【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】依题意取了N次都没有取到黑球的概率P=12×23×34×⋯×NN+1=1N+1；故答案为：1N+1.
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，
则方程f(x)=lgx有_________个根.
9．10【分析】作出周期函数f(x)的图象，再作出y=|lgx|的图象，根据数形结合求解即可.
【详解】由f(2+x)=f(x)可知，函数周期为T=2，作出函数y=f(x)与y=|lgx|，
由图象可知，y=f(x)与y=|lgx|有10个交点，所以方程f(x)=lgx有10个根.故答案为：10.
在平面直角坐标系xOy中，已知P(32，0)，A,B是C:x2+(y−12)2=36上的两个不同的动点，
满足PA=PB，且PA⋅PBPA⋅PBmax，利用函数求出PA⋅PBmax2sin2θ2+2cs2θn−1+4，⋯⋯，fsinθnfcsθ1>2sin2θn+2cs2θ1+4，
……2分，以上n个式子相加得：
fsinθ1⋅fcsθn+fsinθ2⋅fcsθn−1+⋅⋅⋅+fsinθn−1⋅fcsθ2 +fsinθn⋅fcsθ1>6n.
………2分【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．