2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（考试版A4）

这是一份2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（考试版A4），共4页。试卷主要包含了考试范围，已知，则，已知函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则（ ）.
A．B．
C．D．
2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（ ）
A．6，3B．5，3C．5，4D．6，4
3．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ）
A．2B．10C．11D．56
5．已知，则（ ）
A．2B．1C．D．
6．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（ ）
A．7B．C．D．
8．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ）
A．B．为直角三角形
C．周长的最小值为D．的最小值为2
11．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A．，函数都为“旋转函数”
B．若函数为“旋转函数”，则
C．若函数为“旋转函数”，则
D．当或时，函数不是“旋转函数”
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 .
13．若向量与不共线也不垂直，且，则 .
14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
16．（15分）
为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立.
(1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望.
17．（15分）
已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点.
(1)证明：；
(2)若M为中点，求二面角的正弦值；
(3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值.
18．（17分）
已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2.
(1)求C的方程.
(2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点.
(3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值.
19．（17分）
(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.