2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（八）（解析版）

这是一份2025年秋季高三开学摸底考试模拟数学试题（八）（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，函数的零点所在区间为，已知数列满足，，若，则，若函数等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
详解:解：因为，，
所以.
故选：D.
2．设，则“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
答案:B
详解:对于充分性：当，时，满足，
不满足且，故充分性不成立，
对于必要性，当且时，满足，故必要性成立，
则“”是“且”的必要非充分条件，故B正确.
故选：B
3．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
详解:的定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，图象关于轴对称，故C错误；
当时，，故D错误；
，
当，，单调递增，
当，，单调递减，再根据对称性，故B正确.
故选：B.
4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，则
A．1B．2C．3D．4
答案:C
详解:对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；
对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
对⑤：若，则存在且，
因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确.
故选：C.
5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ）
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；
③若事件，满足，则事件与事件相互独立；
④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为．
A．只有一个正确B．只有两个正确
C．只有一个错误D．四个题是错误的
答案:B
详解:对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为，
标准差为，所以命题①正确，
对于命题②，相关关系越强，相关系数越接近于1，所以命题②错误，
对于命题③，因为，得到，
则事件与事件相互独立，所以命题③正确，
对于命题④，将数据从小排到大得到，
又，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误，
故选：B.
6．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
详解:函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增，
而，，
所以的零点所在区间为.
故选：C
7．已知数列满足，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
详解:依题意，，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
则．因为，故，则．
故选：D.
8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
详解:函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以
最高点坐标为，最低点坐标为，
所以函数的周期为，
又因为函数过可得，所以，
，，
的解析式为，
将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，
所以.
故选：C
9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案:C
详解:

由题意得，，双曲线的渐近线方程为，
如图，不妨设点在直线上，
即点在直线上，则，
在直角中，，
所以，故，
在中，，
所以，
所以，故椭圆的离心率.
故选：C.
第Ⅱ卷
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ．
答案:
详解:，因为纯虚数，
则.
故答案为：
11．的展开式中的常数项为 ．
答案:
详解:的展开式的通项公式为，
，
令，则，所以展开式中常数项为.
故答案为：.
12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 .
答案:
详解:由直线l：，得直线l恒过定点，
由圆C：，得，圆心，半径为，
又，即点在圆内，
当直线l经过圆心时，，
当直线时，，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
答案: 0.7 0.22.
详解:设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，
则，所以，
所以，
若无人机恰好被一人击中，即事件，
则，
若无人机被两人击中，即事件，
则，
所以
.
故答案为：，
14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
答案:
详解:以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 .
答案:
详解:因为当时，，
可知函数在内单调递减，且，
作出函数的图象，如图所示：
令，
因为有6个零点，可知有两不同的实数根，
所以，解得或，
令，
结合函数的图象可知：
当，时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：实数m的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
详解:（1）由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，.
（2）由（1）结合余弦定理可得，.
又，
所以为锐角，
所以，.
（3）由（2）知，，，
所以，
，
所以，.
17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
详解:（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以，
在矩形中，因为和分别为和的中点，可得，
因为平面，且平面，可得，所以，
又因为，且平面，所以平面.
（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，可得，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以；
因为平面，且平面，可得，
又因为，且，平面，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
（3）解：因为为的中点，可得，所以，
由（2）知，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，则.

18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．
详解:（1）由题意得，，解得，
故，
故椭圆的标准方程为，
离心率为；
（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，
故设直线方程为，
联立得，，
设，
，解得或，
则，
所以
，
设到直线的距离为，则，
所以，
解得，
所以直线的方程为或.
19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列．
(1)求，的值．
(2)（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，．
详解:（1）令，显然，
由，
.
（2）（i）由按上述规则产生共个正整数，
而产生共个正整数则个正整数包含①，
②，
故，
，
当时，
又，.
(ii)由，
当时，，
由，
当时，
令，
，
，
，
.
20．已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
详解:（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．
（2）由题意，在内恒成立．
，，．
令，则，
在区间上单调递增，
，即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间上单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．