四川省绵阳外国语学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳外国语学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题（Word版附解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
高三年级数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。完卷时间：120分钟。满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知复数，则复数z的模为
A. B. C. D.
2、已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
3、已知直线与圆相切，则的值
A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关
C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关
4、圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为，则表高（即AC的长）为（注：）
A． B．
C． D．
5、 的展开式中的系数为
A. 30 B. C. 20 D.
6、已知向量，，其中，，则的取值范围为
A. B. C. D.
7、已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是
A. B. C. D.
8、已知抛物线，的焦点分别为F1、F2，若P、Q分别为C1、C2上的点，且线段PQ平行于x轴，则下列结论错误的是
A．当时，△F1PQ是直角三角形 B．当时，△F2PQ是等腰三角形
C．存在四边形F1F2PQ是菱形 D．存在四边形F1F2PQ是矩形
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9、已知函数的部分图象如图所示，其中，则
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递减 D．在上有6个零点
10、函数的图象可能是
A. B. C. D.
11、小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
A．有最小值，且最小值为整数
B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C．恰有两个极值点
D．恰有三个零点
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.
12、在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为 .
13、在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 .
14、如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则 .
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15、（13分）如图，在三棱锥中，平面，，，，.
（1）在线段上找一点，使平面平面，求的长；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16、（15分）已知数列的首项为，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：.
17、（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
18、（17分）在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下：
第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分．
（1）求玩家在游戏中获得10分的概率．
（2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望．
（3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率．
19、（17分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围.
绵阳外国语学校2025年第三次高考模拟检测
高三年级数学试卷答案
12、0.18 13、1或 14、
6、【详解】设表高为，则，，
而，得，，
故，得
8、【详解】依题意，线段PQ平行于x轴，不妨设P,Q在第一象限，
设Pt24,t,Qt28,t,t>0，
则PQ=t24-t28=t28，焦点F11,0,F22,0，
A选项，当PQ=t28=12时，解得t=2，所以P1,2,Q12,2，
则PF1⊥PQ，△F1PQ是直角三角形，A选项正确.
B选项，当PQ=t28=43时，解得t=463，所以P83,463,Q43,463,t>0，
由于83+432=2，所以P,Q关于直线x=2对称，而F22,0，
所以此时△F2PQ是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形F1F2PQ是平行四边形，
则PQ=F1F2,t28=1,t=22，则P2,22,Q1,22，
此时PF2⊥F1F2,QF1⊥F1F，QF1≠F1F2，
所以四边形F1F2PQ是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
11、【详解】，
，
设，易得：，
所以，
当时，等号成立，故A对;
，，，若恒有，等价于切线一直在割线下方，即单调递增.即函数在区间上“严格下凸”；
，，，若恒有，等价于切线一直在割线上方，即单调递减.即函数在区间上“严格上凸”.
设，，易得在为增函数.
，，
所以存在常数，，使得在上，，单调递减，即单调递减, 在“严格上凸”；
在上，，单调递增，即单调递增,在“严格下凸”.故B错误；
由B知，在上单调递减, 在上，单调递增
，，
，
所以恰有两个极值点，故C正确；
由C知，恰有两个极值点，设为，，且，
所以在和单调递减， 单调递增
，，
，
所以函数在各有一个零点，故D正确.
14、【详解】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N，
由平面平面，可知M为和的交点，
又由，可知，
又由，可得，
又由，有，可得，
不妨设，，，可得梯形的面积为，
又由，，
又由，可得，
可得四边形的面积为，可得，
又由，可得，
又由，可得，可得，
又由几何图形的对称性可知．
15、解:(1)取中点，连接，因为，所以，
又平面，平面，，
因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
此时；
(2)取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以与平面所成角的正弦值．
16、解:(1)由已知，则，
即，则，，，，
等式左右分别相加可得，
则；
(2)依题意得，，
则，
又，所以，所以，即.
17、解:(1)依题意，解得，所以双曲线的方程为；
(2)由（1）知、，
依题意直线的斜率，则直线的方程为，
由，消去整理得，设，，
当，即，由，
则，，
所以
，
因为为锐角，所以，
即
，解得或，
又，所以的取值范围为.
18、解:(1)得10分的情况有：
从中摸出2个红球的概率，此时中有4个红球和3个白球，从中摸出一个红球的概率为，
从中摸出2个白球的概率，此时中有2个红球和5个白球，从中摸出一个红球的概率为，
所以玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为；
(2)的所有可能取值为，
当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为，
当从中摸出2红或2白，再从中摸出白球的概率为，
当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为，
由（1）知，所以；
(3)由（2）知，共有三种情况：
从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球，
当从中摸出2个红球时，中有4个红球和3个白球，中有1个红球和2个白球，
当从中摸出2个白球时，中有2个红球和5个白球，中有3个红球，
当从中摸出1个红球1个白球时，中有2个红球和3个白球，中有3个红球和2个白球，
所以取出两个球都是红球的概率为：
19、解:(1)当时，，，，
所以在点处的切线方程为，即．
(2)由题意得的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增．
②当时，，
由，解得，
不妨设，则由韦达定理有，
又，，即，
故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
③当时，，
可得，所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在当时，在上单调递减，
上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
(3)①当时，在上单调递增，，矛盾；
②当时，在上单调递增，
所以当时，，矛盾；
③当时，所以在上单调递减，，符合题意，
综上：所求实数的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
D
D
C
D
C
AD
ABD
ACD