四川省成都市成都外国语学校2025届高三下学期高考模拟（三）数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用集合的交补运算求集合.
【详解】由题设，，则.
故选：A
2. 若复数为纯虚数（），则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出虚数的表达式，即可得出的值.
【详解】由题意，，
在中，
∵z为纯虚数，
∴，解得：，
∴，，
故选：C．
3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可.
【详解】对于A，由，，得或，A错误；
对于B，由，，，得或是异面直线，B错误；
对于C，当相交，其交线垂直于平面，满足，，不平行，C错误；
对于D，由，，得，又，则，D正确.
故选：D
4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
上述两个等式相除得，整理可得，
因为，解得，故.
故选：B.
5. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可.
【详解】由，得，则，
由，得，因此，
所以.
故选：A
6. 第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（ ）
A. 144种B. 72种C. 36种D. 18种
【答案】C
【解析】
【分析】将4名志愿者分成3组，再分配到3个场地即可.
【详解】依题意，将4人按分成3组有种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有种方法，
所以不同的执勤方案有（种）.
故选：C
7. 函数与函数公切线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.
【详解】设切点分别为，
且导数为，
所以切斜方程为既为，
也为，
所以，
且，
所以，
所以或，
所以公切线的斜率为或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.
8. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】通过正弦定理将边与角的关系进行转化，再利用向量数量积的运算和已知条件建立方程组，求解出和的值，最后计算.
【详解】∵，根据正弦定理知道.
已知，，，可得
因为点是的外心，所以，.
将分别与、作数量积：
又因为，，所以可得方程组：
,解方程组求出、 .
则.
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 若正实数满足，则（ ）
A. 的最大值是
B. 的最小值是
C. 的最大值是
D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值.
【详解】由基本不等式得，即，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
，当且仅当，
即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误；
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，故C正确；
，
当时，取得最小值，故D正确.
故选：ACD.
10. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. 为奇函数B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减D. 在上恰有50个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，得到函数的图象.
对A：，函数定义域为，又，
故为奇函数，A正确；
对B：，故关于对称，B正确；
对C：当时，，则在单调递增，C错误；
对D： ，当时，则，
故只需考虑，在上的零点个数，
又，结合正弦函数的图象，可知在上共有个零点，D正确.
故选：ABD.
11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
A. 有最小值，且最小值为整数
B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C. 恰有两个极值点
D. 恰有三个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，求导后将看成一个整体，利用进行放缩即可；
对于B,将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断；
对于C，根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断；
对于D，根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断；
【详解】，
，
设，易得：，
所以，
当时，等号成立，故A对;
，，，若恒有，等价于切线一直割线下方，即单调递增.即函数在区间上“严格下凸”；
，，，若恒有，等价于切线一直在割线上方，即单调递减.即函数在区间上“严格上凸”.
设，
，
易得在为增函数.
，
，
所以存在常数，，使得在上，，单调递减，即单调递减, 在“严格上凸”；
在上，，单调递增，即单调递增,在“严格下凸”.
故B错误；
由B知，在上单调递减, 在上，单调递增
，，
，
所以恰有两个极值点，故C正确；
由C知，恰有两个极值点，设为，，且，
所以在和单调递减， 单调递增
，，
，
所以函数在各有一个零点，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为______.

【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件求出正八面体的表面积和体积即可计算作答.
【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，
正四棱锥的高，
则正八面体的体积，
于是得，
所以正八面体的体积与表面积之比为.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可求得，进而根据双曲线定义及离心率公式求解.
【详解】因，所以，
又为等腰三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，解得．
因为，即，
所以，双曲线的离心率为．
故答案为：．
14. Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dminique Cassini（1625－1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，，动点满足．且动点的轨迹为曲线，若和是曲线与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定动点的轨迹为一个双纽线，求出其轨迹方程，得到，由对称性，可考虑在第一象限的情况，因为为定值，所以面积最大时，即点的纵坐标最大，化简，换元得到，，求出纵坐标最大值为1，进而得到面积最大值.
【详解】，，，故，
故动点的轨迹为一个双纽线，
设，因为，所以，
即，，
故动点的轨迹方程为
令得，解得或，
令，
由对称性，可考虑在第一象限的情况，
因为为定值，所以面积最大时，即点的纵坐标最大，
，即，
由求根公式得，
其中，故舍去，
所以，令，则，
故，
因为，所以，
当时，取得最大值，最大值为1，
即的最大值为1，面积最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列和等比数列满足，.
（1）求数列，通项公式
（2）设数列中满足，求和
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
【小问2详解】
由（1）得，
.
16. 设函数．
（1）设函数，求的单调区间；
（2）求证：．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导得出的解析式，再对函数求导，求出导函数的零点，然后列表得出的单调区间；
（2）结合（1）可以判断在为增函数，结合，分、、三类讨论，即可得证.
【小问1详解】
因为，的定义域为，
，
令，得，与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
小问2详解】
证明：由（1）得，在时，取得最小值，所以恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，
当时，，
综上，
17. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：

表中，．
（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
（2）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）．
附：若随机变量，则，．
【答案】（1）适合，
（2）2.27元
【解析】
【分析】（1）结合散点图即可判断，然后结合表中数据代入计算，即可得到结果；
（2）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果.
【小问1详解】
根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，所以，
所以关于的回归方程为.
【小问2详解】
因为，，所以
，
，
（元）.
18. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）若的面积为6，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）或
【解析】
【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；
（2）（i）由题意得到的斜率互为相反数，构造方程即可求解；
（ii）写出直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，由抛物线的定义得，又，所以，
因此，即，解得，从而抛物线的方程为.
【小问2详解】

（i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，
所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，
，
同理，则，
化简得，则，
所以点在定直线上.
（ii），则直线，
即
线段的长度：，点到直线的距离，
可得的面积为，
因为，且，化简得
，
令，则，即.
解得或，
由知或，所以或
所求点的坐标为，或者.
19. 已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，．
（1）求函数的解析式；
（2）在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由；
（3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）
（2）可确定存在两个点满足条件，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意：，，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系，以及折叠后存在关系，列方程组求得：与的值，从而求得，再由与轴的交点为，求得，从而求得解析式；
（2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，连线的斜率，连线的斜率，过点作交轴于，则直线斜率为-2，由可得直线一定交的图像于，②在平面上，过作平行于的交于，连接．可证得平面平面，从而证得平面，故可确定存在两个点满足条件.
（3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，通过空间向量法求得二面角的余弦值为，令，，则，即可得解.
【小问1详解】
由题意：，，
当绘有图像的纸片折叠前，有，
于是①
又当二面角的值为时，可得
，代入上式：②
联立①②，解得：，．
所以，
又与轴的交点为，可得，解得(舍)或，
所以.
【小问2详解】
①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，
又点，，
故连线的斜率，连线的斜率，
于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2，
因为，故直线一定交的图像于，
②在平面上，过作平行于的交于，连接．
由，，且，可得平面平面，
又平面，
从而平面，
综上，可确定存在两个点满足条件，即，平面．
【小问3详解】
根据题意，依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，
于是，，，，
所以，，
设平面的法向量
于是
令，得
设平面的法向量
于是
令，得
结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为
令
化简得：
令，，
于是．
易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以，，
二面角的余弦值的取值范围是．
【点睛】方法点睛：对于折叠问题，要注意折叠前后不变的量以及其内在联系.
x
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
30.5
15
15
46.5