重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共25页。试卷主要包含了 已知圆 ，直线 ， ，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 方程 表示椭圆，则 n 的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程即可求出参数范围.
【详解】由于方程 表示椭圆，所以 ，
解得 或 ．
故选：B．
2. 直线 和直线 平行，则实数 a 的值为（ ）
A B. 2 或 C. 2 D. 或 3
【答案】C
【解析】
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【分析】利用直线平行的充要条件计算即可.
【详解】因为直线 和直线 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线方程都是 ，两直线重合，舍去，
当 时，两直线方程分别为 ， ，两直线平行．
∴ .
故选：C．
3. 已知圆 与圆 恰有两条公切线，则实数 b 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解.
【详解】由圆 与圆 恰有两条公切线，得圆 与圆 相交，
而圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，则 ，
因此 ，即 ，解得 ，
故选：C
4. 设 F 是椭圆 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线 上的动点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可.
【详解】由 ， ，
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设 为该椭圆的右焦点，则 ，所以 ，
于是 ，
显然当 ，P，A 三点共线，
且 PA 与直线 垂直时， 有最小值，
最小值为 .
故选：A．
5. 已知曲线 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且点 是线段 AB 的中点，则直线 l
的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ，利用设而不求点差法求解中点弦斜率.
【详解】设 ， ，因为 A，B 两点在曲线 上，
所以有 ，用（1）式减去（2）式可得 ，
即 ，
因为点 是线段 AB 的中点，
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根据中点坐标公式可得 ，即 ， ．
代入 ，可得 ，
而 就是直线 l 的斜率 k，所以直线 l 的斜率为 ．
因为 ，故点 在椭圆内，所以直线 与椭圆相交，满足条件，
故选：D．
6. 已知点 ， ，若直线 与线段 AB 相交，则直线 l 的倾斜角的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得直线 恒过的定点，数形结合只需求得 线段与直线 有交点时的斜率，结合斜
率和倾斜角的关系即可求得结果.
【详解】因为直线 的方程 可化为 ，
所以直线 过定点 ，
又 ， ，
所以直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
所以 PA 的倾斜角为 ，PB 的倾斜角为 ，
结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是 ，
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故选：C．
7. 已知实数 x、y 满足方程 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用斜率的几何意义，结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，再利用数形结合即可得
范围.
【详解】点 在圆 上，圆心 ，半径为 ，
设 ，则 k 表示圆上点 与 连线的斜率，
当 PQ 与圆相切时， ，得 或 ．
结合图像 k 的取值范围是 ．
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中， ， ，点 在圆 上，若 ，则
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的最大值是（ ）
A. B. C. 6 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】设点 ，由条件 ，根据数量积的坐标运算可得 ，结合
条件可得点 P 在劣弧 CD 上，由已知点 是 的中点，故 ，再求 的范围，
由此可得结论.
【详解】设点 ，则 ， ，
则 ，故 ，
所以点 在圆 ： 的内部或边界上，
又点 在圆 上，所以点 在劣弧 CD 上，
因为点 是 的中点，所以 ，
又 ，所以点 在圆 内，
联立 可得， ，
所以直线 的斜率为 ，又直线 的斜率为 ，
所以直线 与直线 垂直，
将 代入 可得 ，
故 ，
所以 或 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
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所以 ， ， ，
所以 ，
所以 的最大值为 12．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的．）
9. 已知圆 ，直线 ， ，则（ ）
A.
B. 与圆 C 相交
C. 若 与圆 C 相交于 A、B，则弦长 的最大值为 4
D. 与圆 C 相切，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用 可判断 A；求得直线 过定点 ，判断点 在圆内，进而可判断 B；
求得圆心到直线 的最大距离，可求弦长 判断 C；利用圆心到直线的距离等于半径求得 ，进而可
判断 D.
【详解】∵ ，∴ ，故 A 正确．
∵ ，∴ 过定点 ，
∵ ，∴点 P 在圆内，∴ 与圆 C 相交，故 B 正确．
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∵圆心 ， ，∴圆心 C 到 的距离的最大值为 ，
∴ ，∴ ，故 C 错误．
∵圆心 到 的距离 ，
若圆 C 与 相切，则 ，即 ， ，故 D 正确．
故选：ABD．
10. 古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的 倍．已知
椭圆 ， 、 是椭圆 C 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上的动点，则下列说法正确的是（
）
A. 椭圆 C 的面积为
B. 若 的内切圆的面积为 ，则
C. 椭圆上存在 4 个点 P，使得 为等腰三角形
D. 若直线 交椭圆于另一点 Q，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆面积公式直接求解判断 A；利用焦点三角形面积公式建立方程求解判断 B；分类讨论求解
点 P 的个数判断 C；由余弦定理求出椭圆焦半径，代入化简即可判断 D.
【详解】由椭圆 可知： ， ，
所以椭圆 C 的面积为 ，故 A 正确；
因为 内切圆的面积为 ，则其半径为 1，
由 ，
知 ，所以 ，故 B 不正确；
当点 P 在椭圆的上，下顶点时，满足 为等腰三角形，
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又因为 ， ，所以满足 的点 P 有 2 个，
同理，满足 的点 P 有 2 个，
综上可得，满足 为等腰三角形的点 P 有 6 个，故 C 不正确；
在 中，由余弦定理 ，
即 ，
整理得 ，同理可得 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：AD．
11. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到
不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为 ，现有一截面与旋转轴的交点 M 距离圆锥顶
点 S 长度为 2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为 60°，则该曲线为圆
B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为 60°，则该曲线的离心率为
C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为 60°，则点 M 为该曲线的一个焦点
D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为 60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为 3
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【答案】ABD
【解析】
【分析】根据截面与母线所成的角可知截面与旋转轴垂直判断 A，根据截面与圆锥的旋转轴夹角为 60°可判
断曲线为椭圆，利用长轴的性质判断 D，建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，求出焦点坐标及离心率判断
BC.
【详解】对于 A，截面与圆锥的一条母线夹角为 60°，
又由母线与旋转轴夹角为 30°，则截面与旋转轴夹角为 90°，
所以该曲线是圆，A 正确；
对于 BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，
若该截面与圆锥的旋转轴夹角为 60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直，
设与截面垂直的母线垂足为 A，平面 SAM 交椭圆曲线的另一交点为 B，
由对称性知 AB 为该椭圆的长轴端点．如图，
在直角三角形 SAB 中，由 ， ， ，
则有 ， ， ， ， ，
所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长 ，故 D 正确；
再过 M 作平面 垂直于旋转轴 ，则可得该截面圆的半径 ，
在这个圆面 内作 MP 垂直于平面 SAB，交椭圆于点 P，则 ，
如图，
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在截面上取 AB 中点 为坐标原点， 方向为 x 轴正向，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
由 MP 垂直于平面 SAB 知 MP 垂直于 x 轴，则 ，
设椭圆方程为 ，将 代入得： ，最后可得 ，
由于 ，所以 不是椭圆的焦点，故 C 错误；
即椭圆离心率为 ，故 B 正确；
故选：ABD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填写在答题卡相应位置上）
12. 圆 关于直线 对称的圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 2，
设对称圆的圆心坐标为 ，
由题意得， ，解得 ，
对称圆的圆心坐标为 ，半径为 2，对称圆的方程为 ．
故答案为： ．
13. 已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最小值为______
．
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【答案】
【解析】
【分析】方法一：当过点 P 的直线 与直线 l 平行且与椭圆相切时，点 P 到直线 l 的距离取得最小值；方法
二：应用三角换元设 ，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求
解最小值即可.
【详解】方法一：设 ，即 ，
与椭圆 C 方程联立 ，得 ．
，∴ ，
当 时，点 P 到直线 l 的距离为 ，
即椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最小值为 ．
方法二：设 ，
由点到直线距离公式
∵ ，∴
∴ ，∴ ．
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左焦点为 ，设过原点的直线与椭圆交于 、 两点，
的中点为 ， 的中点为 ．原点 在以线段 为直径的圆上．若直线 的斜率 满足 ，则椭
圆离心率 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
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【分析】先根据中点坐标公式得到 、 的坐标，再由原点 在以线段 为直径的圆上得出 ，
进而得到 点坐标满足的关系式，结合椭圆方程求出 点横坐标的表达式，再根据直线 的斜率范围得
出横坐标的范围，最后根据离心率公式求出离心率的取值范围.
【详解】设 ， ，则 的中点 的坐标为 ， 的中点 的坐标为
；
由题可知， ， ，
化简得 ；
因为 在椭圆上，满足 ，即 ，
将其代入 ： ，
又因为 ，
代入并整理得： ，
直线 的斜率 ，已知 ，则 ，
而 ，
因此： ，
将 代入上式： ，
令 ，即 ， ，代入上式化简得： ，
由于 ，因此需 ；
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同时， ，故 ；
结合 的范围 ，且 ，得： .
故答案为： .
四.解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 的顶点 ，边 AB 上的高线 CH 所在的直线方程为 ，边 AC 上的中线 BM
所在的直线方程为 ．
（1）求直线 BC 的方程；
（2）求经过点 B 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 的直线的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）先联立直线方程求出 B 点坐标，再中点坐标公式求出 点坐标，最后利用点斜式求出 BC 的
方程；
（2）可知直线的斜率存在且不为零，设出方程 ，求出两坐标轴上的截距，利于面
积求出斜率即可.
【小问 1 详解】
由边 AB 上的高线 CH 所在的直线方程为 ，得直线 AB 的斜率为 1，
直线 AB 方程为 ，即 ，
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由 ，解得 ， ，所以点 B 的坐标是 ．
由点 C 在直线 上，设点 ，
于是边 AC 的中点 在直线 上，
因此 ，解得 ，即得点 ，
直线 BC 的斜率 ，
所以直线 BC 的方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
由题意可知：直线的斜率存在且不为零，∴不妨设
令 ， ； ， ．
∴ ，化简得： ，
若 ，
整理得 ，
， 或
∴此时的直线方程为： 或
若 ， ，整理得：
，∴此方程无解．
综上所述：满足条件的直线方程为 或 ．
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16. 已知椭圆方程 短轴长为 ，离心率为 ．
（1）求 方程；
（2）过 的右焦点 的直线 交 于 两点，若 （ 为坐标原点）的面积为 ，求 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为 ，列出方程，求得 的值，即可求解；
（2）设 的方程为 ，联立方程组，设 ， ，利用弦长公式和点到直线的距离
公式，求得 和 ，结合 （ 为坐标原点）的面积为 ，列出方程
求得 的值，即可求解.
【小问 1 详解】
题意可知，椭圆 的短轴长为 ，
∴ ， ．又因为离心率为 ，可得 ，
解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
由椭圆 ，可得 ，则右焦点为 ，
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由题意知，直线 的斜率不为零，设 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得到 ，
可得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
又由点 到直线 的距离 ，
故 的面积 ，
解得 或 （舍），所以 ，
所以 l 的方程为 或 ，
即直线 l 的方程为 或 ．
17. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ， ， 到平面 的
距离为 1．
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（1）求证： ；
（2）若 为 中点，三棱锥 体积为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过 作 于点 ，过 作 于点 ，根据线面垂直和面面垂直性质定理可证
明得到 ，即可证明 ；
（2）建立空间直角坐标系，首先根据体积转化法计算出 ，然后计算出平面 和平面 的
一个法向量，最后根据二面角的向量公式即可求解.
【小问 1 详解】
如图，过 作 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 面 ，所以 ；
又因为 平面 ，所以 ，
而 ， 面 ，
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所以 面 ABC，又 面 ，所以 ；
过 作 于点 ，因为 平面 ，所以 ，
而 ， 面 ，所以 面 ，即 ．
在直角 中， ，则 为直角 斜边 的中点，
所以 为等腰直角三角形，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，
所以 ，
以 为原点， 、 所在直线为 轴、 轴，过点 作 的平行线，得到 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ，所以 为平面 的一个法向量；
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ，所以 为平面 的一个法向量，
设二面角 的平面角为 ，
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则 ，
显然二面角 是锐二面角，所以二面角 的余弦值为 ．
18. 已知圆 关于直线 对称，直线 ，点P在 上运动．直
线 PA、PB 分别与圆 C 相切于点 A、B．
（1）求圆 C 的方程；
（2）证明：直线 AB 恒过定点；
（3）过点 的直线与圆 C 交于 M、N 两点（点 M 在直线 上方）．在 上是否存在定点 Q 使直线 MQ
、NQ 的斜率之积为 1？若存在，请求出 Q 的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）圆心 在直线 上，代入 得到方程，解得 ，得到圆 C 的方程；
（2）P、A、C、B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，求出此圆的方程，与圆 C： 联立得直线
AB 的方程，求出 AB 过定点 ；
（3）假设存在 Q，当 MN 斜率存在时，设 ，联立 与圆的方程，由韦达定理
得到方程，根据 MQ、NQ 斜率之积为 1 得到方程，求得 ，上述对 恒成立，
故 ， ，求出 ，当 MN 斜率不存在时，可知 ， ，得到
满足题意，综上，可得 满足要求.
【小问 1 详解】
∵圆 C 关于直线 对称，
∴圆心 在直线 上，
∴ ，解得 ，
∴圆的方程为： ；
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【小问 2 详解】
直线 PA、PB 分别与圆 C 相切于点 A、B，故 ，
由平面几何可知 P、A、C、B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，
设 P、A、C、B 所在圆为圆 E，设 ，设圆 E 上任一点 ，
则 ，
∴圆 ，
与圆 C： 联立得 ，
∴ 得： ， ，
∴AB 过定点 ．
【小问 3 详解】
存在点 ，理由如下：
假设存在 Q，使得 MQ、NQ 斜率之积为 1．
设 ， ， ，
当 MN 斜率存在时，设 ，则 ， ，
联立 与 得 ，
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则 ，
∴ ，
变形得到 ，
即 ，
化简得
∵上述对 恒成立，
∴ ，故 ，∴ ，
当 MN 斜率不存在时， 中，令 得 ，
可知 ， ，
由 得 ， ，
所以 满足题意．
综上，存在点 使 MQ、NQ 斜率之积为 1．
19. 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 ， ，动点 满足直线 AW 与 BW 的斜率之
积为 ．记 W 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2）已知直线 l 与 C 交于 M，N 两点，与圆 交于 P，Q 两点，若不重合的两条直线
与 分别平分线段 MN，PQ．
①求证： 为定值；
②已知直线 与曲线 C 交于 E，G 两点， 与曲线 C 交于 D，F 两点， ，求四边形 EFGH
面积的最大值．
【答案】（1）曲线 C 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为
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（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式计算化简即可得解；
（2）①设出直线 ，由垂径定理可得直线 l 与 垂直，即可表示出 ，再借助点差法计算可得 ，即可得
证；②由题意可得 ，则可得 ，从而可通过基本不
等式得到 的最大值后得解.
【小问 1 详解】
直线 AW 的斜率为 ，直线 BW 的斜率为 ，
由题意可知： ，∴ ，∴ ，
所以曲线 C 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为 ；
小问 2 详解】
①如图 1，由于直线 平分直线 l 与圆 O 的交线段，
所以直线 l 与 垂直，设直线 ，则 ．
设 ， ，则 ，
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于是 ，
即 ，由于 ， ，
则 ，又 ，则 ，得证；
②由题意，因为 ，则 ，如图 2，连接 DG，ED，
则 ，
则 ，
令 ，得 ，
则直线 与椭圆相交所得弦长为 ，
同理可得直线 与椭圆的一个交点坐标为 ，不妨记为点 D，
则 D 到直线 的距离 ，
所以 ，
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由题意可知 ，则
，
当且仅当 时，取等号，
所以四边形 EFGH 面积的最大值 .
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