重庆市江北区2025_2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

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3．试卷页数2页
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线斜率得到直线倾斜角.
【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故选：D.
2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 5B. -5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可.
【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，，
根据得，，所以.
故选：B.
3. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出.
【详解】由题意得：，
设的公比为，则，，
解得：，
.
故选：B
4. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线的一般形式化为标准形式，即可确定焦点坐标.
【详解】抛物线整理为标准形式，故焦点在轴上，
又的焦点坐标为，
由得，，所以此抛物线焦点坐标为.
故选：A.
5. 等差数列前项和为，且，则（ ）
A. B. C. 52D. 104
【答案】C
【解析】
【分析】通过通项公式将条件转化为关于首项和公差的等式，化简得到中间项的值，再利用等差数列前项和的性质计算.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
，，，即.
等差数列前项和，而，
故.
故选：C
6. 已知等比数列的首项，前项和为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过化简前项和的不等式，得到公比的范围；再分析等比数列递增的公比条件，对比后判断充分必要关系.
【详解】设等比数列的公比为，，
，由于，所以
.
数列为递增数列，由于，
所以.
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
故选：C
7. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围.
【详解】直线过定点 ，过定点；
由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ；
因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ；
圆圆心为 半径为 ；
圆心距为 ，故两圆外离；
，，
则的取值范围是.
故选：A.
8. 若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率.
【详解】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直，
所以. 所以直线的方程为.
设的中点为，则在直线与直线上，则
，解得，，即.
设，，则，，，
两式相减得，，又，
所以，即，所以.
因为，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A. 双曲线的渐近线为B. 的离心率为
C. 的方程为D. 的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，.
由图象易知，，
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
根据椭圆的定义可得，，
所以，，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故B项正确，C项错误；
对于A项，根据双曲线的方程易知，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理可知，.
又，所以，
所以，，故D项正确.
故选：BD.
10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 1225既是三角形数，又是正方形数
C. 若，则数列的前100项和为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数列的性质可判断A；再由累加法分别求出数列，，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式可得C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D；
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立.
对于A，，故A错误；
对于B，令，解得；
令，解得；故B正确；
对于C，当n为偶数时：设，
则
，
代入可得数列的前100项和为，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ）
A. 点到的最小距离为
B. 若，则
C. 点到的距离与到直线的距离之和的最小值为3
D. 若存在点，使得过可作两条互相垂直的直线与圆相切，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义及性质，结合点到直线的距离、圆的切线性质逐项分析即可.
【详解】选项A：设点，则，
点到的距离为，
又，当时取等号，所以，
所以，故A正确；
选项B：抛物线焦点，准线，过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知，，则，当点、、共线时，等号成立，故B错误；
选项C：点到直线的距离等于点到焦点的距离加1，
则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为焦点到的距离加1，
焦点到的距离为，所以最小值为，故C正确；
选项D：设圆的圆心坐标为，设点，则，
过可作两条互相垂直的直线与圆相切，则，即.
又，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线被圆截得的弦长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离以及弦长公式求解即可.
【详解】易知圆的圆心为，半径为；
由圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为：
13. 已知为等比数列的前项和，且，则的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得，可求得.
【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为，
所以为等比数列，所以，
所以，所以，解得或，
又，所以.
故答案为：.
14. 数列满足是其前项和，已知，则___________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定的递推公式探讨数列的周期性，再利用该性质及给定和求得答案.
【详解】数列中，，，则，
于是，数列是周期为6的周期数列，可得，
且，则，
则，
得到，
因此，
.
故答案为：5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可.
（2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为（）.
由题意知，即，解得，
所以，
故数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由题意得.
所以
故数列的前项和为：.
16. 如图，在直三棱柱中，已知分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行判定推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解.
小问1详解】
在直三棱柱中，连接，由为中点，得为中点，
又为的中点，则，而平面平面，
所以平面.
小问2详解】
取中点，连接，则，由平面，得平面，
由，则，因此直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值．
（3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质求出，利用离心率求出，进而求出，从而求出椭圆的标准方程；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合三角形面积公式得出面积表达式，进而求出面积最大值；
（3）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系求出的值，从而证明结论．
【小问1详解】
的周长为，由椭圆的性质可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，
，解得，，，，
椭圆的标准方程为：．
【小问2详解】
设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得，整理得，
设点，由韦达定理得，
，
令，则，
，令，求导得，，
，，函数单调递减，
当时取得最大值，最大值为，
的最大值为．
【小问3详解】
设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得，整理得，
设点，由韦达定理得，
，
，，，
，
为定值，命题得证．
18. 已知数列前项和，数列前项和．
（1）求数列，的通项公式：
（2）若，求数列前项和；
（3）若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）利用作差法求解，构造等比数列求解；
（2）通过错位相减法求解；
（3）通过裂项可得，再分别求解以及即可.
【小问1详解】
因为，当时，，当时，，，所以，
所以当时，，所以；同理，当时，，即，当时，，，
两式相减，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以,.
【小问2详解】
由（1）可得，，所以①，
②，
①②可得，
，所以，
.
【小问3详解】
，所以，所以当时，
可得
，当增大时，减小，所以的最大值为
当时，，当增大时，增大，此时趋近于
又因为，所以，所以的取值范围为.
19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”.
引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积.
利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”.
（1）求，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出双曲线方程，由双曲线对称性、联立直线与双曲线方程求出点坐标，进而求出.
（2）由双曲线方程及斜率坐标公式列式求得，进而求出关系，求出数列通项公式.
（3）由表示出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用给定的三角形面积公式计算得证.
【小问1详解】
由在双曲线上，得，
由C的离心率为，得，即，解得，
则双曲线，由数列为C的“数列”，得直线：，
由双曲线与直线对称性得，则，直线：，
由，解得或，则，，
所以.
【小问2详解】
点，点关于轴对称点在双曲线上，
由，得，
由直线的斜率为，得，即，
则，整理得，解得，
因此，而，
则数列是首项为3，公比为的等比数列，，
所以数列的通项公式为.
【小问3详解】
由（2）知，
，
线段的中点，
线段的中点，又，
所以的面积
为定值.