重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析 (1)，共22页。试卷主要包含了 已知椭圆 ， 已知圆 等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角.
【详解】 ，则直线斜率为 ，
则直线倾斜角 满足 .
故选：B
2. 已知 ， ，对曲线 上的任意一点 恒有 ，则 的离心率 为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义以及离心率公式即可求解.
【详解】由于 ，故点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
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依题意， ， ，故 ，则离心率为 ，
故选：A
3. 若直线 被圆 ： 截得的弦长为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由弦长公式可得 ，再根据点到直线的距离公式求解即可．
【详解】设圆心 到直线 的距离为 ，圆 的半径 ，
则弦长为 ，
解得 ，
，
解得 ．
故选：C．
4. 已知 分别是平面 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解.
【详解】由 ，所以 ，
，解得 .
故选：D.
5. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，若
，且 的面积为 ，则 的标准方程为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形面积公式及已知可得 ，再由余弦定理求得 ，最后由椭圆
参数关系求参数，即可得解.
【详解】由题设 ，
可得 ，又 为上顶点，则 ，
故 ，
所以 ，则 ，故标准方程为 .
故选：A.
6. 已知圆 ： ，一只蚂蚁从点 出发，爬到 轴后又爬到圆 上，则它爬
行的最短路程为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据“将军饮马”模型，求得对称点，利用两点距离公式结合圆的性质，可得答案．
【详解】如图，设爬到 轴上的点 ，再到圆 上点 处，
要求它爬行的最短路程，即求 的最小值，
圆心 ，半径 ，
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设点 关于 轴的对称点为 ,则 坐标为 ，且 ，
由于 （当 三点共线时取等号），
又点 到圆 上点的最短距离 （当
三点共线时取等号），
所以 ,即该蚂蚁爬行的最短路程为 3．
故选：C．
7. 如图，在平行六面体 中， 是 的中点， ， ， ，
， ，则 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 设 ， 由 向 量 的 线 性 运 算 ， 再 两 边 平 方 得 到
，接着解方程即可．
【详解】在平行六面体 中，设 ，
因为 ， ， ， ， ， 是 的中点，
，
所以 ，
由题意 ， ， ， ，
，
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，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 的长为 4．
故选：D．
8. 空间内存在三点 ，满足 ，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与
可以组成正四棱锥，则满足要求的取法种数为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可分为两种情况：当 为正四棱锥的侧面时和当 为正四棱锥的对角面时，
分别求得满足条件的正四棱锥的个数，即可求解.
【详解】空间内存在三点 ，满足 ，
在空间内取不同两点，使得这两点与 可以组成正四棱锥的五个顶点，
可分为两种情况：
第一种：当 为正四棱锥的侧面时，如图（1）所示，
此时 可分别充当底面正方形的一边，对应的情况显然相同，
不妨以 为底面正方形的一边，符合要求的另两个点，
如图（1）所示，此时有两种情形；
考虑到 三边的对称性，共有 6 种情况；
第二种：当 为正四棱锥的对角面时，如图（2）所示，
此时 分别充当底面正方形的一条对角线时，对应的情况显然也相同，
不妨以 为底面正方形对角线，符合要求的另两个点，
如图（2）所示，显然只有一种情况，
考虑到 三边的轮换对称性，共有 3 种情况，
综上所述，共有 9 种情况.
故选：B.
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知椭圆 ： ，下列选项正确的是（ ）
A. 当 时， 的焦点在 轴上 B. 的长轴长为
C. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 D. 当 时， 的焦点在 轴上
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可．
【详解】对于 A， 时， ， 的焦点在 轴上，故 A 正确；
对于 B，若 ，则椭圆焦点在 轴上，
，长轴长为： ，B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，C 正确；
对于 D，椭圆 的焦点在 轴上的充分必要条件是 ，解得 ，
所以当 时得不出椭圆 的焦点在 轴上，故 D 错误；
故选：AC．
10. 已知圆 ： ，直线 ： （ ），下列选项正确的是（
）
A. 直线 过定点
B. 直线 与圆 可能相切
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C. 当圆 上有且只有 4 个点到直线 的距离为 1 时，则
D. 设 与圆 交于 ， 两点，则 中点 的轨迹方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项，化直线为点斜式判断；B 选项，根据直线经过的定点在圆内判断；C 选项，结合半径长度，
点到直线的距离求解；D 选项，根据垂径定理判断出 即可得解.
【详解】A 选项，整理 得， ，
可知该直线经过 ，A 选项正确；
B 选项，整理圆的方程为： ，
注意到 ，
可知直线经过的定点在圆内，则直线必和圆相交，不可能相切，B 选项错误；
C 选项，当圆 上有且只有 4 个点到直线 的距离为 1 时，
则圆心 到直线 的距离小于 ，
即 ，解得 ，C 选项正确；
D 选项，由垂径定理和直线经过定点 可得， ，
则 的轨迹是以 为直径的圆上运动，
又 中点是 ， ，
则 的轨迹是 ，D 选项错误.
故选：AC
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11. 如图，棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是棱 ，棱 的中点，动点 满足
，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
C. 若 ，则直线 与直线 所成角的最小值为 60°
D. 若动点 在三棱锥 外接球的表面上，则点 的轨迹长度为
【答案】AB
【解析】
【分析】以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明
判断 A，若 ，点 在直线 ，可得体积为定值判断 B；求得直线 与直线 所成
角的最小值判断 C；确定外接球的球心，进而求轨迹的周长判断 D.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故 A 正确；
因为 ， ，所以点 在直线 上，
又因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离为定值，又 的面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故 B 正确；
点 为 的中点，坐标为 ，点 的坐标为 ，
向量 ，向量 ，
设直线 与直线 所成的角为 ，
，
又因为 ，当 时， ，
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即直线 与直线 所成角的最小值为 ，故 C 错误；
因为三棱锥 即为三棱锥 ，又底面 是直角三角形，
过 的中点 作 平面 ， 是三棱锥 外接球的球心，
因为 平面 ，所以 ，又 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，
因为点 在平面 内，又在三棱锥 外接球的表面上，
所以 的轨迹是平面 截三棱锥 外接球的截面圆，
又易得 到平面 的距离为 1，所以截面圆的半径为 ，
所以 的轨迹的周长为 ，故 D 错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ， ，若 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再根据 可得 ，利用空间向量垂直的坐标运算列
式可求 的值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
由 得 ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
13. 已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点（点 在
第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方程是______．
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【答案】
【解析】
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线 的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可
求得直线 的方程．
【详解】由点 关于 轴对称点为 ，则直线 与 轴的夹角相等，
又 ，则直线 的倾斜角为 ，
则直线 的倾斜角为 ，即直线 的斜率为 ，
又椭圆 的右焦点为 ，
所以直线 的方程是 ，即 ，
故答案为： ．
14. 已知圆 ： ，过 作圆 的一条切线 ，切点为 ，则 的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据切线长 ，将所求问题转化为求 的最小值，进而利用点到直线的距离
公式，即可求解.
【详解】因为点 在直线 上，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则
，
所以在 中， ，
要使 最小，只需 最小，因为点 在直线 上，圆心 ，
则 的最小值即为点 到直线 的距离 ，
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即 ， ，
故答案为：2
四、解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题 15 分，18、19 题 17 分，共 77 分，解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
（1）过点 且与边 平行的直线方程；
（2） 边上的垂直平分线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行满足的斜率关系，由点斜式即可求解方程，
（2）根据垂直的斜率关系，以及中点坐标公式，即可由点斜式求解方程.
【小问 1 详解】
由于 ,故所求直线 斜率为 3，
又直线经过点 ，故直线方程为 ，即
小问 2 详解】
的中点为 ,且 ，
故所求直线的斜率为 ，且经过点 ，
故其方程为 ，即 .
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16. 已知正四棱柱 ， 为棱 的中点.
（1）证明： 面 ；
（2）若 ， ，求 到面 的距离.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，可得 ，再根据线面平行的判定即可证明；
（2）先求 ，根据 得到体积，接着利用
等体积法求距离即可.
【小问 1 详解】
连接 交 于 ，连接 ，
在正四棱柱 中， 为 中点，
又 为棱 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 面 ；
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【小问 2 详解】
连接 ，设 中点为 ，连接 ，
在正四棱柱 中， ， ，
，
则 ，则 ，
，
设 到面 的距离为 ，
，
解得 ，
则 到面 的距离为 ．
17. 已知圆 过点 和点 ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）若以 为圆心的圆 与圆 没有公共点，求圆 的半径的取值范围；
（3）若过点 的直线与圆 交于 两点（ 在线段 上），且 ，求 的
值.
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【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）求解线段 的垂直平分线，即可联立方程求解圆心坐标，进而根据两点间距离公式求解半径，
（2）根据两圆外离或者内含，即可求解，
（3）根据圆的弦长公式，以及余弦定理和勾股定理求解长度，即可得解.
【小问 1 详解】
, 的中点为 ，
故线段 的垂直平分线所在的直线方程为 ，即 ，
联立 与 ，解得 ，
故圆心坐标为 ，半径为 ，
故圆的方程为
【小问 2 详解】
设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，
由于两圆没有交点，故两圆为外离或者内含，
所以 或 ，
，
即 或 ，解得 或
故半径的取值范围为： 或
【小问 3 详解】
取 的中点为 ，连接 ，则 ,
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由于 ,则 ，
,
故 ,
所以
故 ，
18. 如图，在 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，满足
， ，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
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（3）在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角余弦值为 ？若存在，求出 的长
度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）根据翻折前后图像的性质，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 法向量，再运用向量夹角余弦公式结合正、余弦性质求解；
（3）同（2）的空间直角坐标系中，设存在点 使得假设条件成立，求出平面 的法向量，联
立平面 的法向量，运用向量夹角余弦公式结合题给条件列出关于 的方程求解．
【小问 1 详解】
， ，
，
，
又 ， ，
折叠后 ，
，
平面 ，
平面 ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ．
【小问 2 详解】
以 为原点， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
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则 ，
，
设 为平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，
．
【小问 3 详解】
设线段 上存在点 ，使平面 与平面 夹角余弦值为 ，
在同（2）空间直角坐标系 中，
由（2）知，平面 的法向量 ，设平面 的法向量为 ，则
，
，
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，令 ，则 ，
设两平面夹角为 ，则 ，化简
整理得 ，解得 或 （此时 与 重合），
或 ，
或 ，即存在点 ，且 长度为 或 ．
19. 如图所示的几何体是由正三棱锥 和三棱柱 组合而成， ， ，
.
（1）当 时，求二面角 的余弦值.
（2）若该几何体的各个顶点可以在球 的表面，
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）设 的中点为 ，过点 且垂直于 的直线与球面交于 ， 两点，若 ， ，求
.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）0
【解析】
【分析】（1）根据正四面体的几何性质可得 ，进而得 为二面角 的
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平面角，即可利用余弦定理求解；
（2）根据棱柱和棱锥的结合性质，结合勾股定理，联立球半径的两个表达式，即可化简求解；
（3）求解半径，利用数量积的运算律，即可代入化简求值.
【小问 1 详解】
当 时，正三棱锥 为正四面体，
取 的中点 ，连接 ,
由于 , 均 等边三角形，故 ,
故 为二面角 的平面角，
,
故 ，
故二面角 的余弦值为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由于该组合体的顶点都在同一个球面上，因此三棱柱 为直三棱柱，结合底面为等边三
角形，故三棱柱 为正棱柱，
设正三棱锥 的底面的中心为 ，即 为等边 的中心，
的中心为 ，则球心为 的中点 ，设球半径为 ,
,
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在正三棱锥 中， ，
， ，
故 ，化简可得 ，
（ⅱ）由于 ， ，故 ，则 ，
由（ⅰ）可知球心 到 距离为 0，（因为 ），
则 为球的直径，故 ，故 ，
由于 是 的中点，所以 ,
，所以 .
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