重庆市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考10月试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考10月试卷含解析，共17页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效.
考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的）
1. 已知直线 倾斜角为 ，在 y 轴上的截距为 ，则此直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，求出斜率，利用斜截式直接写方程．
【详解】解析：直线的倾斜角为 ，则其斜率为 ，又在 轴上的截距为 ，由直线的斜截式方程可得：
.
故选：A.
2. 已知方程 表示圆，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解．
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【详解】将方程 配方，得 ，
因为方程表示圆，所以半径的平方 ，解得 ，即 的取值范围是 ．
故选：D．
3. 已知椭圆 的左右焦点分别是 ，椭圆上任意一点到 的距离之和为 4，
焦距为 2，则椭圆 C 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆定义及题目条件求出 a、b、c 即可得解．
【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为 2a，
已知该和为 ，故 ，得 ，
椭圆焦距为 2c，已知焦距为 ，故 ，得 ，
由椭圆中 ，可得 ，
所以椭圆 标准方程为 ．
故选：C．
4. 若直线 与 平行，则两直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先利用两直线平行求得 ，再利用两平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线 与 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线方程都为 ，此时两直线重合，不合题意，
当 时， 与 平行，故 ，
故 ，
所以两直线间的距离为 .
故选：C.
5. 已知椭圆 ，直线 经过点 与 交于 两点.若 是线段 的中点，则 的方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点 、 ，利用点差法可求得直线 的斜率，利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】设点 、 ，则 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以 ，
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因此直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
6. 已知直线 和曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到曲线 表示以原点为圆心， 为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可
求解.
【详解】由 ，得到 ，
所以曲线 表示以原点为圆心， 为半径的半圆，图象如图，
当直线 过点 时， ，此时 与曲线 有两个不同的交点，
当直线 与曲线 相切时，由 ，解得 或 （舍），
由图可知，实数 的取值范围是 ，
故选：C.
7. 直线 的方程为 ，则圆 上到直线 距离为 1 的点的个数为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心和半径，得到 到 的距离为 ，从而得到到直线 距离为
1 的点的个数为 3.
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【详解】 ，故圆心为 ，半径为 3，
到 的距离为 ，
又 ，故过点 作 垂直 与圆 交于点 ，在 上取点 ，使得 ，
过点 作 ⊥ ，交圆 于点 ，
所以圆 上到直线 距离为 1 的点的个数为 3，分别为 .
故选：D
8. 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，过点 向圆
引切线交椭圆于点 （在 轴上方），若 的面积为 ，则椭圆的离心率 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明 即为椭圆的上顶点,再根据面积列出 的等式求离心率即可.
【详解】如图，
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设圆 与 轴切于点 ，与 切于点 ，设椭圆与 轴正半轴交于点 ，
下面证明 重合，
设 ，
,
， 而
，
与 重合，即点 是短轴的端点，
， ，
则 ，所以 ，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每题给出的四个选项中，有多
项是满足要求的.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
B. 点 关于直线 的对称点为
C. 过 ， 两点的直线方程为
D. 经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】对选项 A，分别令 和 ，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项 B，
求出对称点坐标即可判断；对选项 C 特殊情况不成立；对选项 D，缺少过原点的直线．
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【详解】A．令 得 ，令 得 ，则直线 与两坐标轴围成的三角形的面积
，正确；
B．设 关于直线 对称点坐标为 ，则 ，解得 ，正确；
C．两点式使用的前提是 ，错误；
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线 ，错误．
故选：AB．
10. 圆 和圆 的交点为 A， B，则有（ ）
A. 圆 的圆心为 ，半径为
B. 公共弦 AB 所在直线方程为
C. 线段 AB 中垂线方程为
D. P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出圆 的标准方程即可判断 A 选项，根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作差得出公共弦所在
直线方程，判断选项 B；
利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段 的中垂线方程，判断选项 C；利用点到直线的距离即可判断选
项 .
【详解】对于 ，由圆 ： 可得 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，故 A 正确；
对于 B，由圆 ： 与圆 的交点为 A，B，
两式作差可得 ，即公共弦 所在直线方程为 ，故 B 正确；
对于 C，圆 ： 的圆心为 ， ，
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则线段 中垂线斜率为 ，即线段 中垂线方程为： ，整理可得 ，故 C
正确；
对于 D，圆 ，圆心 到 的距离为 ，半
径 ，
所以 P 到直线 AB 距离的最大值为 ，故 D 不正确；
故选：ABC
11. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点，不过原点 O 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，
Q 两点，则下列结论正确的有（ ）
A. 椭圆 C 的离心率为
B. 椭圆 C 的长轴长为 2
C. 若 A， B 为左右顶点，则直线 PA， PB 斜率乘积为
D. 的面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB 选项，根据椭圆方程得到 ， ，从而求出离心率和长轴长；C 选项，设
求得 斜率 ，利用点 在椭圆 上得到 ，代入 化简
即得；D 选项，设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出 和
点 到直线 的距离为 ，表达出 的面积，求出最大值.
【详解】AB 选项，由题意得 ，故 ，
故椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，A 正确，B 错误；
C 选项，∵ A,B 为 的左、右顶点，∴ ,
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设 由题意得 ，则 ，
的斜率为
则 ，故 C 正确；
D 选项，设不过原点 且斜率为 1 的直线为 ，
联立 得， ，
由 ，解得 ，
设 ，则 ，
则 ，
，
点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为
，
因为 ，所以 ，
故当 时， 的面积取得最大值，最大值为 ，故 D 正确.
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故选：ACD.
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知 的三个顶点分别是 ， ， ，则边 上的中线所在直线方程为______
．
【答案】
【解析】
【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解.
【详解】 的中点坐标为 ,
则 ,故边 上的中线所在直线方程为 ，
即 ，
故答案为：
13. 已知圆 与 ，则两圆位置关系是________.
【答案】相交
【解析】
【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断.
【详解】由题意得
圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
， ， ，
∵ ，
∴圆 与圆 两圆相交
故答案为：相交.
14. 已知圆 ， 是圆 C 上的两个动点，且 ，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方
程为________，设 则 的最大值为________.
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①根据垂径定理求出 ，得出其轨迹为圆，结合圆心半径写出标准方程即可；
②根据点到直线的距离公式，所求式子可以看作点 M 到直线 距离的 倍，利用圆心到直
线的距离加半径即可求得最值.
【详解】由垂径定理可得， ，
则点 的轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆，其标准方程为 ；
设直线 ，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
则 ，
由于 C 到 的距离 ，则 ，
，
其最大值为 .
故答案为：① ；② .
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.其中第 15 题 13 分，16-17 题每题 15 分，18-19 题
每题 17 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
（1）边 AB 所在直线的方程；
（2）AC 边上的垂直平分线所在直线的方程；
（3） 的面积．
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【答案】（1）
（2）
（3）12
【解析】
【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程，
（2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解，
（3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解.
【小问 1 详解】
由两点式得边 AB 所在直线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
因为 ，AC 的中点 ，
所以 AC 边上的垂直平分线所在直线方程为 ，即 ．
【小问 3 详解】
点 C 到边 AB 的距离为 ， ，
．
16. 已知圆 过两点 ， ，且圆心 P 在直线 上．
（1）求圆 P 的方程；
（2）过点 的直线交圆 于 两点，当 时，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）依题意可设圆 P 的方程为 ，圆 P 过两点 ， ，
可列方程组求解未知数，从而可得圆 P 的方程；
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（2）由弦长 ，可得圆心 到直线 的距离为 1，当直线 的斜率不存在时验证即可，
当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【小问 1 详解】
依题意圆心 P 在直线 上，可设圆 P 的方程为 ，
因为圆 P 过两点 ， ，
所以 ，解得 ，
所以圆 P 的方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）可知，圆心 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到直线 的距离为 1，
此时 满足题意；
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，即 ，
当 时，圆心 到直线 的距离 ，
即有 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即为 .
综上，直线 的方程为 或 .
17. 已知圆 ，圆 .
（1）若圆 与圆 恰有三条公切线，求实数 值；
（2）设 时，圆 与圆 相交于 、 两点，求 .
【答案】（1） 或
（2）
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【解析】
【分析】（1）因圆 与圆 恰有 条公切线，所以两圆相外切，由两圆外切得，直接可得实数 的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦 的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【小问 1 详解】
因圆 与圆 恰有 条公切线，所以两圆相外切
圆 ，得圆心 ，半径 .
又圆 ，得圆心 ，半径 .
所以圆心距 ， ，
所以 ，得 ，解得 或 .
【小问 2 详解】
当 时，圆 ，此时两圆的圆心距 ，两圆相交.
将两圆方程相减得直线 的方程为 .
所以圆心 到直线 的距离 ，且半径 ，
由圆的弦长公式得 .
18. 已知椭圆 长轴长为 4，且椭圆 的离心率 ，其左右焦点分别为 ．
（1）求椭圆 方程；
（2）设过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，分别求 的周长和面积．
【答案】（1）
（2）周长为 8，面积为
【解析】
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出 ， ，从而得到 ，得到椭圆方程；
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（2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到 ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之
积，求出 ，结合点到直线距离公式得到三角形面积.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，则 ，
，
，
椭圆
【小问 2 详解】
根据椭圆的定义， 的周长为 ；
其中 ，直线 的斜率为 ，
直线 ，
联立方程组 得 ，显然 ，
设 ，则 ，
，
点 到直线 的距离 ，
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.
19. 在圆 上任取一点 ．过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ，点 满足 ．
（1）求 的轨迹 的方程；
（2）设 ，延长 交 于另一点 ，过 作 的垂线交 于点 ，判断
与 的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）利用相关点法，设 ，由题意可得 ，代入圆 即可得结果；
（2）设 ，则 ，根据题意求点 的纵坐标，进而可得结果.
【小问 1 详解】
设 ，
因为点 满足 ，即点 为线段 的中点，可知 ，
且点 在圆 上，则 ，即 ，
所以 的轨迹 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ，则 ，
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则直线 的斜率 ，可知直线 的斜率 ，
即直线 的方程为 ，
且直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 x 解得 ，
且 在椭圆上，则 ，即 ，
可得 ，即点 的纵坐标为 ，
所以 （定值）.
.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无
关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
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