重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试卷含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试卷含解析 (1)，共23页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．试卷由 整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每题给出的四个选项，只有一项符
合题目要求．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算集合 ，然后根据并集运算判断即可.
【详解】因为集合 ，
所以 .
故选：B
2. 是 的共轭复数，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由除法法则计算出 ，再几日其共轭复数，由复数概念可得结论．
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【详解】由题意 ， ，虚部为 ．
故选：C.
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的概念．掌握复数除法法则是解题关键．
3. 已知向量 ， ，若 ，则实数λ=（ ）
A. B. 3 C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解.
【详解】向量 ， ，则 ，
由 ，得 ，所以 .
故选：D
4. 已知平面上四个点 A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若 则直线 BD 一定经过三
角形 ABC 的（ ）
A. 垂心 B. 内心
C. 重心 D. 外心
【答案】A
【解析】
【分析】先将 整理，得到 ，再利用平面向量的三角形法则，求
出 ，得到 ，从而得到直线 BD 一定经过三角形 ABC 的垂心.
【详解】 ， ，
， ， ，
是三角形 的高线， 直线 BD 一定经过三角形 ABC 的垂心.
故选：A.
5. 记 为等比数列 前 n 项和．若 则 （ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等比数列的通项公式，结合已知条件列方程组，求出首项 和公比 ，进而得到 和 的
表达式，最后计算出 ．
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
， ，
，解得 ， ，
， ，
，
故选：D．
6. 已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，利用倍角公式即可求出 ，再根据 的范围即可求出.
【详解】令 ，则 ，则 ，
故 ，得 ，
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因为 为锐角，则 ，则 .
故选：A
7. 定义在 R 上的奇函数 ，满足 ，且当 时，不等式 恒成立，则函
数 的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】构造 研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求 与 的交点个数，
数形结合判断交点个数，即可得.
【详解】令 且定义域为 R，则 ，
所以 为偶函数，在 上 ，
所以 在 上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在 上单调递增，
由 ，则 ，且 ，则 ，
由 的零点个数等价于 与 的交点个数，函数大致图象如下，
其中 ，且该函数关于 对称，在 、 上分别单调递减、单调递增，
显然 时 ，
在 上 单调递增，则 时 恒成立，
在 上 单调递减，且 ，
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所以 使 ，
综上， 与 的交点横坐标有 ，即 有 3 个零点.
故选：D
8. 已知数列{an}满足 数列 的前 n 项和 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出 是等比数列，可得其通项公式，由
，可得 ，计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列.
于是 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：A
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高
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点、最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的截距为 则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间 上单调递增 D. 为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数图象易得其最小正周期为 ，排除 A；利用图象经过的 和 确定 的值，
即得函数解析式 ，易得 B 正确；将 看成整体角，结合正弦函数的图象即可判断 C；
利用奇偶性定义，通过举反例排除 D.
【详解】由题意， ，因 ，故得 ，故 的最小正周期为 ，故 A
错误；
因图象在 轴上的截距为 ，故 ① ，又函数图象过点 ，故 ② ，
由 ② 可得 ，因 ，则 ，代入① ，可得 ，
此时， ，故 B 正确；
对于 C，由 可得 ，因 在 上单调递增，
则 在区间 上单调递增，故 C 正确；
对于 D，记 ，
因 而 ，故 D 错误.
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故选：BC.
10. 若正数 a，b，满足 ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断 AB；根据 的几何意义，结合点关于直线
的对称问题可判断 C；设 ，则构造函数，令 ，
，利用函数的单调性可判断 D.
【详解】对于 A，正数 a，b，满足 ，则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，故 ，A 正确；
对于 B，正数 a，b，满足 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，B 正确；
对于 C， 表示的几何意义为点 到点 和 的距离之和，
正数 a，b，满足 ，设 ，
点 和 在直线 的同侧，
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则 的最小值问题即为在线段 上找一点到点 和 的距离
之和最短；
设点 和 ，设 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，故 ，
则 的最小值即为 的长，为 1，C 错误；
对于 D，因为正数 a，b，满足 ，若 ，则 ，
设 ，
则令 ， ，
则 ，
故 在 上单调递增，
故 ，即得 ，即 ，D 正确，
故选：ABD
11. 在平面内，若有 ，则（ ）
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A. 在 上的投影向量为
B.
C. 的最小值
D. 若 ，则 的取值范围
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据投影向量的定义可判断 A；建立平面直角坐标系，设 ，推出 终点 位于以
为圆心，1 为半径的圆上，结合圆的性质可判断 B；结合 ，再结合圆的性质判断 C；由
可得 ，再结合三角代换，利用三角恒等变换即可判断 D.
【详解】对于 A，由 ，可得 ，
得 在 上的投影向量为 ，A 正确；
对于 B，不妨设 ，以 O 为坐标原点， 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
由于 ，可得 ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，即 ，
即 的终点 位于以 为圆心，1 为半径的圆上，
设 D，则 ,
故 ，即 ，B 错误；
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对于 C，由 可知 ，即 ，
而 ，故 的最小值为 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，
故 ，可得 ，
而 在圆 上，设 ，
则 ，
当 即 时， 取到最小值 ，
当 即 时， 取到最大值 ，
故 取值范围 ，D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 为等差数列 的前 项和， ， ，则 与 的等比中项为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的相关计算，可求得 ， ，进而可求得 和 ，再结合等比中项的性质即
可求解.
【详解】因为 为等差数列 的前 项和，且 ， ，
所以可得 ，解得 ，
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所以 ， ，
设 与 的等比中项为 ，则 ，则 ，
所以 与 的等比中项为 .
故答案为：
13. 已知函数 ，若 的值域为 R，则实数 k 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数 值域包含正实数集，进
而列式求解.
【详解】由函数 的值域为 R，得 的值域包含 ，
当 时， 不满足题意；
则函数 二次函数，其图象开口向上，且与 轴有公共点，
于是 ，解得 ，所以实数 k 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知函数 ， ，若 恒成立，则 的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 恒成立，则可得 与 同零点，即可得
，再构造函数 ，结合导数研究其单调性计算即可得.
【详解】由 恒成立，则 恒成立，
当 时， 恒成立，则需 恒成立，不符和题意；
当 时，此时 与 同号或其中至少一个为零，
令 得 ，令 得 ，
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当 时， ，则需 ，即 ；
当 时， ，则需 ，即 ；
综上可得 ，故 ，
令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，点 在曲线 上且
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）设 ，记 ，求 Sn
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）将点 代入 ，化简推出 ，利用等差数列的定义即
可证得；
（2）由（1）求出数列 的通项公式，继而求得数列 的通项公式，推出 ，应用
裂项相消法求 .
【小问 1 详解】
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因为点 在曲线 上，所以 且 ，
所以 ，结合题设，故数列 是首项、公差均为 1 的等差数列．
【小问 2 详解】
由（1）及 ，知 ，则 ．
因为 ，所以 ，则 ，
故 ．
16. 某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金
3000 元）、专业二等奖学金（奖金 1500 元）和专业三等奖学金（奖金 600 元），且专业奖学金每个学生一年
最多只能获得一次.图 1 是该校 2022 年 500 名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图 2 是这 500
名学生在 2022 年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图.
（1）求这 500 名学生中获得专业三等奖学金的人数.
（2）若将每周课外平均学习时间超过 35h 的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，画出
列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？
（3）若以频率作为概率，从该校任选 1 名学生，记该学生 2022 年获得的专业奖学金的金额为随机变量 ，
求随机变量 的分布列和期望.
附表：
第 13页/共 23页
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
观测值计算公式： .
【答案】（1） 人
（2）列联表见解析，能；
（3）分布列见解析，期望为 元.
【解析】
【分析】（1）根据直方图和频率柱状图求出获专业三等奖学金频率，进而求对应人数；
（2）由图分析出非努力、努力型学生人数，分别求出其中对应获一、二等奖学金的人数，进而得到列联表，
应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
（3）该学生 2022 年获得的专业奖学金的金额为 ，根据已知图求对应概率，写出分
布列，进而求期望.
【小问 1 详解】
由题图，专业三等奖学金频率为
，
所以 500 名学生中获得专业三等奖学金的人数 人；
【小问 2 详解】
非努力型学生人数为 人，
其中获一、二等奖学金的人数为
人，
所以努力型学生人数为 人，其中获一、二等奖学金的人数为 人，
综上，列联表如下：
非努力型 努力型
专业一、二等奖学金 92 36 128
非专业一、二等奖学金 348 24 372
第 14页/共 23页
440 60 500
，
所以依据小概率值 的独立性检验，能认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关.
【小问 3 详解】
由题设，该学生 2022 年获得的专业奖学金的金额为 ，
，
，
， ，
分布列如下：
0 600 1500 3000
0.424 0.32 0.198 0.058
元.
17. 已知点 , 都在双曲线 上．
（1）求双曲线 E 的方程；
（2）过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 C，D 两点，点 Q 在直线 上，直线 ， ，
的斜率分别为 ，证明： 成等差数列．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把已知两点代入 求出 ，从而得出双曲线 的方程；
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（2）利用双曲线方程的性质求出右焦点 ，分过点 的直线斜率存在和不存在两种情况讨论直线和双曲
线的位置关系，利用直线斜率表达式结合韦达定理，得出 ，从而证明结论成立．
【小问 1 详解】
点 , 在双曲线 上，
，
双曲线方程 ：
小问 2 详解】
双曲线方程 ： , ，
， ，则 ，
过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 C，D 两点，点 Q 在直线 上，
①当过双曲线右焦点 F 的直线斜率存在时，令斜率为 ，则直线方程为 ，
设 ，示意图如下：
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联立双曲线方程和直线方程得： ，整理得： ，
， ，
，
，
令 ，代入 化简得
，
令 ，代入 并化简，
则
，
再代入 可得：
，
第 17页/共 23页
，故 成等差数列；
②当过点 的直线垂直于 轴（斜率不存在）时，示意图如下：
则过点 的直线方程为 ，联立 ，解得 ，
，
设点 ，则 ， ，
，
，故 成等差数列，
综上可得， 成等差数列．
18. 如图所示，在四棱柱 中，菱形 与菱形 的边长均为 ，且平面
平面 ， , ， 为棱 上的动点.
（1）若平面 平面 ，求证： ；
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（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的角的正切值为 ?若存在，请找出
点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且点 在 靠近 的三等分点上
【解析】
【分析】（1）借助面面平行的性质定理证明即可得；
（2）由题意可取 中点 ，则有 、 、 两两垂直，再以 为原点建立适当空间直角坐标系，
求出平面 与平面 法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得.
【小问 1 详解】
在四棱柱 中，平面 平面 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ；
【小问 2 详解】
存在，且点 在 靠近 的三等分点上，理由如下：
取 中点 ，连接 、 ，
由 ， ， ，
由余弦定理得 ，
则 ，所以 ，
又平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，故 ，
由 ，则 ，
有 ，则 ，
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故 、 、 两两垂直，则可以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 ，
则 ， ， ，
设 ， ，则 ，
则 ，
由 轴 平面 ，则平面 的法向量可为 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，取 ，则 ， ，
故平面 的法向量可为 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，则 ，
则 ，
则 ，
化简得 ，解得 或 ，
又 ，则 ，故点 在 靠近 的三等分点上.
19. 设函数
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（1）当 a=1 时，求 f（x）的极值;
（2）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由；
（3）证明:
【答案】（1）极小值为 ，无极大值；
（2） ，理由见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求解极值；
（2）构造 ，利用导数判断其符号，进而比较大小；
（3）先利用数学归纳法证明一个比原不等式略强的不等式：
，进而证明原不等式.
【小问 1 详解】
当 时， ，定义域为 ，
，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得极小值 ，无极大值.
【小问 2 详解】
当 时， ，
所以 .
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令 ，
则 ，
所以 在 单调递增，又 时， ，
所以 时， ，即 .
【小问 3 详解】
先证明一个比原不等式略强的不等式：
因为 ，所以即证
证明如下：（1）当 时，左边 ，右边 ， 成立；
（2）假设当 时不等式成立，
即 ，
则当 时，
由（2） ，
所以 ，
所以 ，
即当 时不等式成立.
综上可知，
第 22页/共 23页
所以