重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析，共16页。试卷主要包含了 下列说法正确 是等内容，欢迎下载使用。
（数学试题共 4 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并收回.
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. -5 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解.
【详解】直线 为平行于 轴的直线，
所以倾斜角为 .
故选：B
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3. 已知直线 和直线 平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将两条直线化为 和 的形式，然后利用两条平行直线间的距离
公式来求解即可.
【详解】直线 可化为 ，设两条平行直线间的距离为 ，则
.
故选： .
4. 若 构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）.
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出
不共面的向量组即可．
【详解】对于 A，因为 ，
所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故 A 错误；
对于 B，因 ，
所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故 B 错误；
对于 C，假设 ， ， 共面，则存在实数 ，使得 ，
由于 为空间的一个基底，所以可得实数 的解为 ，
但 与 矛盾，假设不成立，即 不共面，能构成空间的一个基底，故 C 正确；
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对于 D，因为 ，
所以 共面，不能构成空间的一个基底．
故选：C．
5. 空间内有三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示求出 ，利用空间向量法求解点线距即可.
【详解】因为 ，所以 的一个单位方向向量为 .
因为 ，
所以点 到直线 距离为 .
故选：A
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已
知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解.
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【详解】由 有 ，
所以 ，
故选：A.
7. 已知直线 绕点 逆时针旋转 ，得到直线 ，则 不过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可.
【详解】设 ， ，即 的倾斜角为 ，
易知 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ，故 过二、三、四象限.
故选：A
8. 如图，已知 ， 均为正方形，二面角 的大小为 ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】解法一：根据题目条件可知， 即为二面角 的平面角，将异面直线 与 所
成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解
法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解.
【详解】解法一：根据题意可知， 即为二面角 的平面角，所以 ，
设正方形 与 边长均为 1，异面直线 与 所成的角为 .
因为 ， ， ， ，
所以
，
所以 ，即 .
解法二：不妨假设正方形 与 的边长均为 2，
如图，补形成直三棱柱，以 中点 为原点，建立空间直角坐标系，
则有 ， ， ， ，由此可得 ， .
设异面直线 与 所成的角为 ，则 .
故选：A.
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 若向量 与 的夹角为锐角，则实数 x 的值可能为（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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【答案】CD
【解析】
【分析】依题意可得 且 与 不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可.
【详解】因为 与 的夹角为锐角，
所以 ，解得 ，
当 与 共线时， ，解得 ，所以实数 x 的取值范围是 ，
经检验，选项 C、D 符合题意.
故选：CD
10. 下列说法正确 是（ ）
A. 直线 的倾斜角为
B 若直线 经过第三象限，则 ，
C. 点 在直线 上
D. 存在 使得直线 与直线 垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断 A；利用特殊值判断 B；将点的坐标代入方程即可判
断 C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断 D.
【详解】对于 A：直线 的斜率 ，所以该直线的倾斜角为 ，故 A 正确；
对于 B：当 ， 时，直线 经过第三象限，故 B 错误；
对于 C：将 代入方程，则 ，即点 在直线上，故 C 正确；
对于 D：若两直线垂直，则 ，解得 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. （ 多 选 ） 设 是 半 径 为 1 的 球 的 球 面 上 的 四 个 点 ． 设 ， 则
可能等于（ ）
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A. 3 B. C. 4 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件，根据已知可得 是等边三角形，求得 ，可得结论..
【详解】作出示意图如图所示：
又因为 ，因为 为球心，所以 ， 是 的外心，
所以 ，所以可得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
同理可得 ， ，所以 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 是等边三角形，不妨令 在过 的截面圆上且 在劣弧 上，
可得 ，当且仅当 与 重合时取得最小值 ，
当 平面 时， 最大，最大值为 ，
所以 ．
故选：BCD.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为_________
【答案】
【解析】
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【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】 在 上的投影向量为 ，
故答案为：
13. 若 ，点 到直线 的距离是 ，则这条直线的斜率是______.
【答案】
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式求出 的值，再结合 的范围，求出 的大小，即可求出直线的斜率．
【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得：
又 ，故 ，所以 ，
，解得 ，又 ，故 ，所以 ，则这条直线的斜率
故答案为：
14. 已知 A，M，N 是棱长为 1 的正方体表面上不同的三点，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的性质可得 结合夹角的定义可得 ，可得其最大值；
根据数量积的运算可知 ，可得其最小值.
【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度 ，
则 ，故 ，
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而 ，故 ，
如图建立空间直角坐标系， 取 ， 重合为 时，
则 ，无法取到 ；
由对称性，设 在下底面， ， ，
由 在下底面知 ，当且仅当 也在下底面时取等，
此时 共面时，设 中点为 ，则 ，
，
当且仅当 重合时取等，
又因为 ，可得 ，
例如 ， ，则 ；
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知 顶点 ， ， .
（1）求边 BC 上的高所在直线的方程；
（2）若直线 l 过点 A，且 l 的纵截距是横截距的 2 倍，求直线 l 的方程.
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【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据 、 ，即可得 中点及斜率，进而可得其高线方程；
（2）当直线 l 过坐标原点时可得直线方程；当直线 l 不过坐标原点时，根据直线 截距式可得解.
【小问 1 详解】
由 、 ，且 ，
所以其高线斜率满足 ，即 ，
所以边 BC 的高所在直线的方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
当直线 过坐标原点时， ，此时直线 ，符合题意；
当直线 不过坐标原点时，由题意设直线方程为 ，
由 过点 ，则 ，解得 ，
所以直线 方程为 ，即 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
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（2） .
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明 ，再根据线面垂直判定定理证
明线面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【小问 1 详解】
由题意以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设
，则 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，所以 ，
记直线 与 所成角为 ，则
，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
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17. 在 中， ，边 上的高 所在的直线方程为 ，边 上中线 所
在的直线方程为 .
（1）求点 C 坐标；
（2）在线段 上是否存在一点 F，使得 ？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系得出直线 斜率，再由点斜式得出直线方程；
（2）根据题意设出 点坐标，再由中点公式得出 点坐标，代入直线方程即可得解.
【小问 1 详解】
因为 边上的高 所在的直线方程为 ，
所以 ，
又直线 经过点 ，
所以直线 的方程为： ，即： .
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联立 ，解得 ，
即点 .
【小问 2 详解】
由题知，满足条件的点 F 为点 C 关于直线 BE 的对称点，
直线 AC 的方程为： ，设点 ，
所以 ，
将点 E 带入直线 BE 的方程得： ，解得 ，
所以 ，
即存在点 ，使得 .
18. 如图，三棱锥 中， ， ， ， 为 的
中点.
（1）证明： ；
（2）点 满足 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用三角形的性质判定线线垂直，结合线面垂直的判定与性质证明即可；
（2）先证 平面 ，结合线面平行，等体积法计算即可.
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【小问 1 详解】
连接 ，易知 均为等边三角形， 为等腰直角三角形，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由 及（1）可知： ，
显然 ，即 ，
由上可知 ，
平面 ，则 平面 ，
而 可知 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，则点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相同，
设该距离为 ，
则 ，即 .
19. 如图所示， 是等腰直角三角形， ， 、 都垂直平面 ，且
．
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（1）证明： ；
（2）在平面 内寻求一点 ，使得 平面 ，求此时二面角 的平面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可
证明；
（2）根据四点共面、线面垂直等求出点 的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角 的
平面角的正弦值.
【小问 1 详解】
因为 ， 、 都垂直平面 ，如 图，以 为原点， 分别为 轴建立空
间直角坐标系，
，则 ，
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所以 ，则 ，故 ；
【小问 2 详解】
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则
设 ，则 ，由于 平面 ，所以 ，则 ，所以
，即 ，
又 平面 ，故存在实数 ，且满足 ，使得
，
故 ，解得 ，所以
设平面 的法向量为 ，又
则 ，令 ，则
设平面 的法向量为 ，又
则 ，令 ，则 ，
所以 ，所以
则二面角 的平面角的正弦值为 .
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