2025-2026学年广东省广州市增城区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市增城区八年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
2.下列各组线段能构成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 4cm，5cm，8cmC. 3cm，3cm，9cmD. 2cm，5cm，8cm
3.下列计算结果正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. (a2)3=a5C. (ab)3=ab3D. 4x3+3x3=7x6
4.“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟的文字系统，是汉字的源头、中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文图画中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知AB=AC，AD=AE，现添加以下一个条件仍不能判定△ABD≌△ACE的是( )
A. ∠BAD=∠CAEB. ∠B=∠C
C. ∠BAC=∠DAED. BD=CE
6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，则图中表示△ABC重心的点是( )
A. 点D
B. 点E
C. 点F
D. 点G
7.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，若△ABD的周长为12，AB=5，则AC=( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，且BD=BE，若∠ADE=15∘，则∠C=( )
A. 35∘B. 30∘C. 20∘D. 45∘
9.如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB//CD，AF//DE，∠1=90∘，∠2=110∘，∠C=135∘，则∠CBE的度数是( )
A. 60∘
B. 65∘
C. 70∘
D. 75∘
10.如图，在△ABC中，AB=BC，∠A=30∘，E是边AC上一点，连接BE并延长至点D，连接DC，若∠BCD=120∘，AB=2DC，AE=5，则CE的长为( )
A. 1B. 2C. 52D. 53
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，AD是△ABC的一条中线，若△ABC的面积是10cm2.则△ABD的面积为 cm2.
12.如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD=115∘，∠B=40∘，则∠A= .
13.在平面直角坐标系中，点(−6,2)关于x轴对称的点的坐标是 .
14.如果等腰三角形的两边长分别是6cm、10cm，那么它的周长是 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，S△ABC=36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为 .
16.已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②BE平分∠FEC；③AE=AD=EC；④S四边形ABCE=BF×EF.其中正确的是______.(只填序号)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，AB//CD，BE=CF，∠A=∠D.求证：AB=CD.
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠B=30∘，∠C=70∘，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC交BC于E，求∠DAE的度数.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上(网格中小正方形的顶点即为格点).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
(2)直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)在y轴上画出点P，使PA+PC最小.
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点G.
(1)求证：DE=DF；
(2)若DE=6，AB=8，S△ABC=60，求AC的长.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
(1)求证：△AFD为等腰三角形；
(2)若等腰△AFD的一个内角是40∘，求另外两个角的度数.
22.(本小题10分)
如图，点D，F在△ABC外，连接AF，AD，BD，且AF//BC，∠ABD=∠CAF，BD=AC.
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中的作图，求证：AD=CE.
23.(本小题12分)
如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF交AB于点G.
(1)求证：∠FAB=∠FBA；
(2)求证：G为AB中点；
(3)若∠FAG=15∘，求∠BCE的度数.
24.(本小题14分)
已知AB=15cm，AC=6cm，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B.
(1)如图1，若点E在线段AB上，点D在射线BM上，CB⊥DE，请你添加一个条件：______，使得△ABC≌△BDE，判定全等的依据是：______；
(2)在(1)的条件下，证明你的结论；
(3)若点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0)，则当以点B、D、E组成的三角形与△BCA全等时，求t的值.
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，作点A关于y轴的对称点C，连接AB，BC，AD平分∠BAC交BC于D.
(1)如图1，求∠ADB的度数；
(2)如图2，过点C作CE⊥AD，垂足为E，猜想CE与AD的数量关系，并证明；
(3)如图3，以AC为边在x轴上方作等边△ACH，点G是边AH垂直平分线上一动点，连接HG，将△HGC沿HC翻折，点G的对应点为G′，过G′作G′M⊥CH，垂足为M.当HG′+12G′C最小时，直接写出S△HGMS△ACH的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C.
根据钝角三角形的定义作答即可．
本题考查的是三角形的分类，熟练掌握各三角形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴长为1cm，2cm，3cm的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵4+5>8，
∴长为4cm，5cm，8cm的三条线段能构成三角形，符合题意；
C、∵3+36，符合要求；
∴周长为6+10+10=26；
综上所述，周长为22cm或26cm，
故答案为：22cm或26cm.
由等腰三角形的定义，三角形的三边关系确定第三边的长，然后计算求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键．
15.【答案】13
【解析】解：如图，连接AD，与EF的交点为M，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵△ABC是等腰三角形，且点D是底边BC上的中点，BC=8，
∴AD⊥BC BD=DC=12BC=4，
∵BC=8，S△ABC=36，
∴AD=2×S△ABCBC=2×368=9，
∵直线EF垂直平分线段AC，
∴MC=MA，
∴△MCD的周长=MC+MD+CD=AD+DC=9+4=13，
故答案为：13.
首先根据AC的垂直平分线EF可得点A与点C关于直线EF对称；然后连接AD，此时与EF的交点为使△CDM周长最小的M点的位置；最后利用三角形的面积计算公式，算出AD的长，进而计算出△CDM的周长．
本题考查轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用两点之间线段最短求最值是解答的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC∠ABD=∠EBCBA=BE，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确；
②∵EF⊥AB，
∴∠ABE+∠BEF=90∘，
∵∠CBE+∠BEC>0，∠ABE=∠CBE，
∴∠BEC≠∠BEF，
∴BE不平分∠FEC，故②错误；
③∵∠ABD=∠CBD，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC.故③正确；
④如图，过E作EG⊥BC于点G，
∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
BE=BEEG=EF，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，
∴BG=BF，S△BEF=S△BEG，
在Rt△CEG和Rt△AEF中，
CE=AEEG=EF，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF(HL)，
∴S△AEF=S△CEG，
∴S四边形ABCE=2S△BEF=2×12BF×EF=BF×EF，故④正确；
故答案为：①③④．
由“SAS”可证△ABD≌△EBC，故①正确；由三角形的内角和定理可求∠BEC≠∠BEF，故②错误；由外角的性质可证∠DCE=∠DAE，可得AE=EC=AD，故③正确；证Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，Rt△CEG≌Rt△AEF(HL)，得S△BEF=S△BEG，S△AEF=S△CEG，判断④正确，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
17.【答案】∵AB//CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
∠A=∠D∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD.
【解析】证明：∵AB//CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
∠A=∠D∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD.
根据平行线的性质得出∠ABE=∠DCF，进而利用AAS证明△ABE与△DCF全等解答即可．
此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据AAS证明△ABE与△DCF全等解答．
18.【答案】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，
∴∠BAC=180∘−30∘−70∘=80∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=40∘，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠B=90∘−30∘=60∘，
∴∠DAE=60∘−40∘=20∘.
【解析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=80∘，再利用角平分线的定义得到∠BAE=40∘，再利用互余可计算出∠BAD=60∘，然后计算∠DAE=20∘即可．
本题考查了三角形内角和：能利用三角形内角和定理进行角度计算．
19.【答案】如图所示，△A′B′C′即为所求．
由图知，A′(−3,−4)，B′(−4,−1)，C′(−1,−2)；
如图所示，点P即为所求
【解析】(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)由图知，A′(−3,−4)，B′(−4,−1)，C′(−1,−2)；
(3)如图所示，点P即为所求．
(1)分别作出三个顶点关于x轴的堆成点，再首尾顺次连接即可；
(2)根据所作图形即可得出三个顶点的坐标；
(3)作点C关于y轴的对称点，再与点A连接，与y轴的交点即为所求．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
20.【答案】∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
∴∠AED=∠AFD=90∘，
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD∠AED=∠AFD=90∘AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴DE=DF；
12
【解析】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
∴∠AED=∠AFD=90∘，
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD∠AED=∠AFD=90∘AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴DE=DF；
(2)解：DE=6，AB=8，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×8×6=24，
由(1)的结论得：DE=DF=6，
∴S△ACD=12AC⋅DF=3⋅AC，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=60，
∴24+3⋅AC=60，
∴AC=12.
(1)根据角平分线定义得∠EAD=∠FAD，再根据∠AED=∠AFD=90∘，则可依据“AAS”判定△AED和△AFD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
(2)先根据已知条件及由(1)的结论分别求出S△ABD=12AB⋅DE=24，S△ACD=12AC⋅DF=3⋅AC，再根据S△ABC=60得24+3⋅AC=60，由此即可得出AC的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
21.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠FEC=90∘，
∴∠B+∠BDE=90∘，∠C+∠CFE=90∘，
∴∠BDE=∠CFE，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠CFE，
∴AF=AD，
∴△AFD为等腰三角形；
另外两个角的度数为70∘，70∘或40∘，70∘
【解析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠FEC=90∘，
∴∠B+∠BDE=90∘，∠C+∠CFE=90∘，
∴∠BDE=∠CFE，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠CFE，
∴AF=AD，
∴△AFD为等腰三角形；
(2)解：分两种情况：
当等腰△AFD的顶角为40∘时，
∴等腰三角形的底角=180∘−40∘2=70∘，
即另外两个角的度数为70∘，70∘；
当等腰△AFD的底角为40∘时，
∴等腰三角形的顶角=180∘−40∘−40∘=100∘，
即另外两个角的度数为40∘，70∘；
综上所述：另外两个角的度数为70∘，70∘或40∘，70∘.
(1)先利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再根据垂直定义可得∠DEB=∠FEC=90∘，从而可得∠B+∠BDE=90∘，∠C+∠CFE=90∘，然后根据等角的余角相等可得∠BDE=∠CFE，再利用对顶角相等可得∠BDE=∠ADF，从而可得∠ADF=∠CFE，最后根据等角对等边可得AF=AD，即可解答；
(2)分两种情况：当等腰△AFD的顶角为40∘时；当等腰△AFD的底角为40∘时；然后分别进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】如图，作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AF//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=EA，
在△ABD和△EAC中，
AB=EA∠ABD=∠EACBD=AC，
∴△ABD≌△EAC(SAS)，
∴AD=CE
【解析】(1)解：如图，作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE.
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AF//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=EA，
在△ABD和△EAC中，
AB=EA∠ABD=∠EACBD=AC，
∴△ABD≌△EAC(SAS)，
∴AD=CE.
(1)按基本作图“作已知角的平分线”的作法，作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE；
(2)由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠CBE，由AF//BC，得∠AEB=∠CBE，则∠ABE=∠AEB，所以AB=EA，而∠ABD=∠EAC，BD=AC，即可根据“SAS”证明△ABD≌△EAC，则AD=CE.
此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△EAC是解题的关键．
23.【答案】∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60∘，
∴∠CAE−∠CAB=∠CBD−∠CBA，
即∠FAG=∠FBG，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA；
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60∘，
∴∠CAE−∠CAB=∠CBD−∠CBA，
即∠FAG=∠FBG，
∴AF=BF.
在△AFC和△BFC中，
AF=BFAC=BCCF=CF，
∴△AFC≌△BFC(SSS)，
∴∠ACF=∠BCF，
即CF平分∠ACB，
又∵AC=BC，
∴AG=BG，
即G为AB的中点；
30∘
【解析】(1)证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60∘，
∴∠CAE−∠CAB=∠CBD−∠CBA，
即∠FAG=∠FBG，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA；
(2)证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60∘，
∴∠CAE−∠CAB=∠CBD−∠CBA，
即∠FAG=∠FBG，
∴AF=BF.
在△AFC和△BFC中，
AF=BFAC=BCCF=CF，
∴△AFC≌△BFC(SSS)，
∴∠ACF=∠BCF，
即CF平分∠ACB，
又∵AC=BC，
∴AG=BG，
即G为AB的中点；
(3)解：如图，由(2)可得∠FBG=∠FAG=15∘，
∴∠BFE=∠FBG+∠FAG=15∘+15∘=30∘，
∵∠E=60∘，
∴∠EMF=180∘−30∘−60∘=90∘，
在Rt△BCM中，∠BMC=90∘，∠CBD=60∘，
∴∠BCE=180∘−90∘−60∘=30∘.
(1)由等腰三角形，等边三角形的性质得出AF=BF，进而利用等边对等角；
(2)由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明△AFC≌△BFC(SSS)，可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题；
(3)根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BMC=90∘即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形底边三线合一的性质；证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】AB=BD，AAS；
∵DE⊥BC，∠CAB=90∘，
∴∠C=∠DEB=90∘−∠CBA，
在△ABC和△BDE中，
∠C=∠DEB∠A=∠DBEAB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
t的值为3或7或10
【解析】(1)依据题意可补充为AB=BD，AAS；
故答案为：AB=BD，AAS；
(2)∵DE⊥BC，∠CAB=90∘，
∴∠C=∠DEB=90∘−∠CBA，
在△ABC和△BDE中，
∠C=∠DEB∠A=∠DBEAB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
(3)由题可知AE=3t，
当点E在BD左侧时，且△ABC≌△BED，
此时BE=AB=15cm，
则点E与点A重合，
此时t=0，不合题意；
当点E在BD左侧时，且△ABC≌△BDE，
此时AC=BE=6cm，
∴3t+6=15，
解得t=3；
当点E在BD右侧时，且△ABC≌△BDE，
此时AC=BE=6cm，
∴3t−6=15，
解得t=7；
当点E在BD右侧时，且△ABC≌△BED，
此时AB=BE=15cm，
∴3t−15=15，
解得t=10；
综上，t的值为3或7或10.
(1)根据题意直接写解即可；
(2)利用AAS证明即可；
(3)根据当点E在BF左侧和右侧，以及对应关系，分类讨论，进而根据全等三角形的性质求解即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵A(4,0)，B(0,4)，
∴OB=OA，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=225∘，
∵点A与点C关于轴的对称，
∴OA=OC，
∴BO垂直平分AC，
∴BA=BC，
∴∠BCA=45∘，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD=67.5∘；
(2)证明：猜想2CE=AD，证明如下：
如图，延长CE，AB交于点G，
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC，
∴∠CEA=∠GEA，∠GAE=∠CAE，AE=AE，
∴△ACE≌△AGE，
∴CE=GE，
∴AE是△CAG的中线，
∴CE=GE=12CG，
∵∠ABC=∠AEC=90∘，∠CDE=∠ADB，
∴∠BCE=BAE，
∵AB=BC，
∴△CBG≌△ABD(ASA)，
∴CG=AD，
∵2CE=AD；
(3)解：过点G作GQ⊥x轴，垂足为Q，连接MG，AG，设AH的垂直平分线与AH交点为P，
∵△ACH是等边三角形，CP⊥AH，
∴GA=GH，∠HCG=∠ACG=12∠ACH=30∘，
由折叠的性质得：GH=G′H，G′M=GM，CG′=CG，∠HCG=∠G′CM=30∘，
∴△CGG′是等边三角形，GA=G′H，
∴12G′C=12GG′=GM，
∴∠HCG=∠G′CM=30∘，
∴CG平分∠HCA，
∵GM⊥CH，GQ⊥AC，
∴GM=GQ=G′M，
如图，当A，G，M三点共线时，GA+GM有最小值，即HG′+12G′C有最小值，
此时，点Q，O重合，点G在y轴上，即HO垂直平分AC，
∵GA=GH，CH=AC，GC=GC，
∴△HGM≌△AGC(SSS)，
∴S△HGC=S△AGC，
同理S△HGA=S△AGC，
∴S△HGMS△ACH=S△HGM3S△HGM=13.
【解析】(1)由题意可得OB=OA，进而得到∠BAO=45∘，由角平分线的定义得到∠CAD=225∘，再根据对称的性质得到BA=BC，推出∠BCA=45∘，利用三角形外角的性质即可解答；
(2)如图，延长CE，AB交于点G，利用等腰三角形三线合一证明CE=GE=12CG，再证明△CBG≌△ABD(ASA)，即可得出结论；
(3)过点G作GQ⊥x轴，垂足为Q，连接MG，AG，设AH的垂直平分线与AH交点为P，证明△CGG是等边三角形，GA=GH，推出GM=GQ=GM，当A，G，M三点共线时，GA+GM有最小值，即HG+12GC有最小值，此时，点Q、O重合，点G在y轴上，即HO垂直平分AC，即可解答．
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键．