安徽省滁州市天长市实验中学测八年级下学期4月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省滁州市天长市实验中学测八年级下学期4月期中数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式应满足的条件：（1）被告开方式不含有开的尽方的因数与因式，（2）被告开方式不含有分母是解题的关键．根据最简二次根式应满足的条件解答即可．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
解得，
故选：C
3. 下列方程中，一定是一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程不是整式方程，不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
故选：D．
4. 下列数据不是勾股数的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 8，12，16D. 9，40，41
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，②满足勾股定理．根据勾股数的定义求解即可．
【详解】解：A．，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；
B．，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意；
C．，所以8，12，16不是勾股数，此选项符合题意；
D．，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意；
故选：C．
5. 年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设月收入的增长率为，则四月份销售额为，五月份销售额为，列出方程，即可．
【详解】设月收入的增长率为，
∴四月份销售额为；五月份销售额为，
∴列出方程为：．
故选：D．
6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案．
【详解】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC=，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP=AC=，
∴点P表示的数是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长．
7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法步骤进行求解即可得答案．
【详解】解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
根据题意得出且，求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
故选：．
9. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A. B. 4C. 4.5D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】设FC′=x，则FD=9-x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设FC′=x，则FD=9﹣x，
∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD=BC=6，C′D=3，
在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，
∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．
10. 若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ）
A. 2或B. 3或C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足，
也是关于的方程（其中）的解，
或，解得或（负值舍去），
，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键．
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：4．
12. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为300平方米，
．
故答案为：．
13. 关于的方程的两根为、，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，确定，即可求解．
【详解】解：∵的方程的两根为、，
∴，
∴，
∴
故答案为：
14. 在中，，平分交于点D，若、，则点D到斜边的距离为________，________．
【答案】 ① 2 ②. 20
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理等内容，掌握这两个知识点，得到是关键；过点D作于E，由角平分线的性质定理得，即可求得点D到斜边的距离为；利用，得，而，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵平分，，
∴，
即点D到斜边的距离为2；
∵，
即，
∴；
∵，，
∴由勾股定理得：，
即，
整理得：；
故答案为：2；20．
三、解答题（满分90分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先用完全平方公式展开，求出算术平方根，再进行二次根式的加减混合运算即可．
【详解】解：
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
先移项，再用因式分解法求解．
【详解】解：，
，
，
或，
解得．
17. 已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且，
∴，，，
∴原式．
18. 学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，熟练掌握勾股定理解题关键．
（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，然后再计算面积即可．
【小问1详解】
解：∵，米，米，
∴米；
【小问2详解】
∵米，米，米，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积为：平方米．
19. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
【答案】（1）详见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
20. 某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？
【答案】每件应定价54元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件应降价x元，则每件定价为元，根据每天获得的利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件定价为元，
根据题意得，
化简得：，
解得：，
∵商铺要尽快减少库存，
∴，
答：每件应定价54元．
21. 如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
（1）根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示）
（2）为何值时，的面积等于四边形的面积的？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．
（1）根据路程速度时间，即可求解；
（2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
∴，，
则；
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵的面积等于四边形的面积的，
∴面积等于面积的，
∴，
即，
解得．
答：当时，的面积等于四边形的面积的．
22. 在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1），方法见详解；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
（3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案；
【小问1详解】
解：方法一：；
方法二：；
【小问2详解】
解：由题意可得，
，
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
23. 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：在中，，，，．求证：．
证明：由图1可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
（2）如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明；
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）， （2）见解析
（3）风车的面积为393
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得， 再由图形是由四个全等直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题；
（2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解．
【小问1详解】
证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
【小问2详解】
解： ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又， ，
∴.
∴；
由题意，第一种方法：

；
第二种方法：
，
，
，
；
【小问3详解】
由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，
，
设则，
在中，
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于，
∴风车的面积为：．