安徽省安庆市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份安徽省安庆市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的范围．
【详解】解析：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故选D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
B、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
D、是最简二次根式，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．
3. 计算的结果是（ ）
A. 16B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题的关键．
4. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数的关系直接写出方程．
【详解】∵3-2=1，3×（-2）=-6，
∴根为3和-2的一元二次方程为：x2-x-6．
故选C．
【点睛】考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系（若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=-，x1x2=）是解决本题的关键．
5. 把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项系数即可．
【详解】解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，
∴二次项系数为1，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式．
6. 已知实数x、y满足，则yx值是（ ）
A. ﹣2B. 4C. ﹣4D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．
【详解】∵实数x、y满足，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴yx＝＝-4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
7. 把一块长与宽之比为2：1铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（ ）
A. （2x﹣20）（x﹣20）=1500B. 10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C. 10（2x﹣20）（x﹣20）=1500D. 10（x﹣10）（x﹣20）=1500
【答案】C
【解析】
【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．
【详解】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．
8. 若一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得：
x1+x2=3，x1x2=-1，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
9. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到，由勾股定理得到，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换—折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10. 如图，一长方体木块长，宽，高， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵，，，
∴在中，，，
∴；
②如图2，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
②如图3，
∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为c，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
13. 若＝6﹣a，则a的取值范围是_____．
【答案】a≤6．
【解析】
【分析】原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义判断即可确定出a的范围．
【详解】解：∵＝|a﹣6|＝6﹣a，
∴6﹣a≥0，
解得：a≤6．
故答案为：a≤6．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行解题．
14. 如图，在中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，，从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得出，从而得出为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再求出、的长度，最后求出的长度．
【详解】解：∵边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴，
∴，，，
∵边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折变化，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定，根据折叠的性质求得相应的角是解答本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方运算，绝对值的性质，二次根式的乘法及乘法分配律，解题的关键是正确进行相关运算．先进行乘方运算，化简绝对值，利用乘法分配律去括号，然后再进行合并即可．
【详解】解：
，
.
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是运用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解．
通过对一元二次方程进行因式分解，把方程转化为两个一次方程，进而求出方程的解．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
∴，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
【答案】
【解析】
【分析】设道路的宽为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：道路的宽为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18. 小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点，
（1）图中格点的面积是_______；
（2）按要求画图：
①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形；
③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段．
【答案】（1）
（2）①见解析②见解析③见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用三角形面积公式求解即可．
（2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可．
②利用轴对称法画出图形即可．
③画出直角三角形即可．
【小问1详解】
解：的面积，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图，即为所画（答案不唯一）
②如图，即为所画（答案不唯一）
③如图，即为所画（答案不唯一）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：______；
（2）请用含的式子写出你猜想的规律：______；
（3）请证明（2）中的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式有关规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键．
（1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
（2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子．
（3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可．
【小问1详解】
解：根据规律，第④个等式为：．
【小问2详解】
解：根据规律，第的式子为：．
【小问3详解】
证明：∵，
∴．
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k；
（2）k=3
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
【小问2详解】
∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
六、（本题12分）
21. 如图，在中，，，点、在边上．
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果M、N是边上任意两点，并满足，那么线段是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据已知条件“在中，，”以及等腰直角三角形的性质来判定；然后根据全等三角形的对应边相等求得；
（2）过点作，垂足为点，截取，使．连接、．通过证明推知全等三角形的对应边、对应角；然后由等腰直角三角形的性质和得到，所以，故全等三角形的对应边；最后由勾股定理得到即．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．勾股定理，等腰直角三角形的两个底角都是，两腰相等．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，
．
，
．
即得．
在和中，
．
．
【小问2详解】
解：成立．证明如下：
过点作，垂足为点，截取，使．连接、．
，，
．
，
．
在和中，
．
，．
，，
．
于是，由，
得．
在和中，
．
．
在中，由勾股定理，得．
即得．
七、（本题12分）
22. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）每件降价20元
（2）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
【小问2详解】
解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
八、（本题14分）
23. 如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝−x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
（3）经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．
【答案】（1）点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）
（2）B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2）
（3）2秒或4秒或（3+）秒
【解析】
【分析】（1）点A和点C是函数与坐标轴的交点，分别让给x＝0，y＝0，求其对应的值即可；
（2）根据题意，分类讨论即可；
（3）当点P在OA上，当点P经过点O之后，分别计算即可．
【小问1详解】
解：当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
当y＝0时，x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴线段OA＝6，线段OC＝8；
【小问2详解】
解：①当AC＝AB时，
此时x轴为线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC＝8，
∴点B的坐标为（0，−8）；
②当AC＝CB且点B在点C上方时，
由勾股定理可知，
AC＝，
∴BC＝10，
∴点B的坐标为（0，16）；
③当BC＝AC且点B在点C下方时，
∴BC＝AC＝10，
∵OC＝8，
∴OB＝2
∴点B的坐标为（0，−2）；
综上，B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2）；
【小问3详解】
解：设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＜6时，
OP＝6−t，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（6−t）×2t＝8，
解得t＝2或4，
∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＞6时，
OP＝t−6，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（t−6）×2t＝8，
解得t＝3+或3−（舍去），
∴当t为（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位．
综上，当t为2秒或4秒或（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位，
【点睛】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键．