安徽省滁州市天长市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省滁州市天长市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共28页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（ ）
A. ∠A＝90°B. ∠B＝90°C. ∠C＝90°D. ∠A＝∠B
3. 如图，的对角线，相交于点，若，，则的长可能是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
5. 如图，在矩形中，点E在边上，F是的中点，若，则（ ）
A. 5B. C. D. 10
6. 某奶茶小店某月每日营业额（单位：元）中随机抽取部分数据，根据方差公式，得则下列说法正确的是（ ）
A. 样本的容量是4B. 该组数据的中位数是400
C. 该组数据的众数是300D.
7. 已知a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A. B. C. 0D.
9. 观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（ ）
A. 2023B. 2024C. D.
10. 如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 使有意义的x的取值范围是_______．
12. 如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
13. 如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于______．
14. 如图，，均为等腰直角三角形，，，点，，在同一直线，与相交于点，为的中点，连接，．完成以下问题：

（1）的度数为_____；
（2）若为中点，则的长为________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 计算：
（1）；
（2）．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
18. 如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的方程无实数根．
（1）求m取值范围；
（2）判断方程的根的情况．
20. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
六、（本题满分12分）
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?
八、（本题满分14分）
23. 如图，在正方形中，点E是边上一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求的面积；
（3）求证：．
2023~2024学年度第二学期教学质量监测
八年级数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式概念、二次根式的性质，理解最简二次根式的概念是解答的关键．
根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，此选项不符合题意，
故选：A．
2. 在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（ ）
A. ∠A＝90°B. ∠B＝90°C. ∠C＝90°D. ∠A＝∠B
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵在△ABC中，AB=，BC=，AC=，
∴
∴∠A=90°
故选A.
3. 如图，的对角线，相交于点，若，，则的长可能是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，再利用三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，，
即，
∴的长可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．掌握平行四边形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为形式，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5. 如图，在矩形中，点E在边上，F是的中点，若，则（ ）
A. 5B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意设，则，在中应用勾股定理求得的值，再在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：由题意设，则，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴中：，解得：，
∵，
∴在中：，
∵F是的中点，
∴，
故选：B．
6. 某奶茶小店某月每日营业额（单位：元）中随机抽取部分数据，根据方差公式，得则下列说法正确的是（ ）
A. 样本的容量是4B. 该组数据的中位数是400
C. 该组数据的众数是300D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出样本容量、中位数、众数、方差后，即可做出判断．
【详解】A．由题意可知，样本容量为，故选项错误，不符合题意；
B．由题意可知，该组数据共有10个，处在中间的两个都是300，故中位数为，故选项错误，不符合题意；
C．该组数据出现次数最多的是300，共出现5次，故众数为300，故选项正确，符合题意；
D．由题意可得，平均数，
方差为，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了样本容量、中位数、众数、方差等知识点，熟练掌握各统计量的求法是解题的关键．
7. 已知a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．
首先得到，，然后将原式变形代入求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，
∴
∴．
故选：A．
8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：，
∴
∴
，
故选：B．
9. 观察下列各式：应用运算规律化简结果为（ ）
A. 2023B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【详解】∵
∴用含的等式表示为
∴．
故选C．
10. 如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出．
取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】如图，取中点P，连接、，

∵正方形的边长为4，
∴，
∴
由折叠的性质可知，，Q为中点，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
12. 如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
【答案】48
【解析】
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
故答案为：48
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
13. 如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【详解】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
14. 如图，，均为等腰直角三角形，，，点，，在同一直线，与相交于点，为的中点，连接，．完成以下问题：

（1）的度数为_____；
（2）若为的中点，则的长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由得，而，，即可证明，得，所以，可推导出，则，于是得到问题的答案；
（2）作于点，则，可证明，则，再由勾股定理求得，则，所以，则，，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1），均等腰直角三角形，，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案：．
（2）作于点，则，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据二次根式的乘法和性质求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
∴或
解得，；
【小问2详解】
，，
∴
解得，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
18. 如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？

【答案】秒或秒
【解析】
【分析】点的速度，点的速度，设经过秒，由此可用含的式子表示，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点的速度，点的速度，，，
∴点到点的时间为，点到点的时间为，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴设经过秒后，两点的距离是，且，
根据题意，，，在中，，
∴，整理得，
解得，，
当时，，符合题意，
∴秒或秒，两点的距离是．
【点睛】本题主要考查动点，勾股定理，解一元二次方程，理解动点的运动与线段的关系，掌握直角三角形的勾股定理，解一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的方程无实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）判断方程的根的情况．
【答案】（1）
（2）当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程的判别式求解即可；
（2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可．
【小问1详解】
∵关于x的方程无实数根
∴
解得；
【小问2详解】
∵方程
∴当时，即时，方程为
∴方程为一元一次方程，有一个实数根，
当且时，方程为一元二次方程
∴
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
20. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF；
（2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），
∵AE⊥BC AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
【小问2详解】
解：设菱形的边长为x，
∴AB=CD=x，CF=2，
∴DF=x−2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等），
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），
∴42+(x−2)2=x2，
解得x=5，
∴菱形的边长是5．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
六、（本题满分12分）
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，69，70
（2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【解析】
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【小问1详解】
从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
【小问2详解】
解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
【小问3详解】
结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
七、（本题满分12分）
22. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?
【答案】（1）年平均增长率为
（2）当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为，根据“顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
年平均增长率为；
【小问2详解】
解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
让顾客获得最大优惠，
，
当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在正方形中，点E是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求的面积；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）过点作，利用正方形性质和平行线性质得到，利用直角三角形性质得到，，利用等腰直角三角形性质得到，即可证明；
（2）利用等腰直角三角形性质，证明，结合的面积为，得到，，利用勾股定理得到，再利用面积公式即可求出的面积；
（3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可知：，，，，利用勾股定理得到，证明四边形为平行四边形，即可证明．
【小问1详解】
证明：过点作，如图所示：
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
∴，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
四边形为正方形，，
，，
，，
∴四边形是矩形，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
的面积为，
，解得，
，
，
的面积为．
【小问3详解】
证明：将绕点顺时针旋转得到，
由旋转的性质可知：，，，，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，平行四边形性质和判定，旋转的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
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选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
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