安徽省亳州市谯城区城父镇树林学校八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省亳州市谯城区城父镇树林学校八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共15页。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．，被开方数为小数，不是最简二次根式，故A错误；
B．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B错误；
C．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故C错误；
D．符合最简二次根式的条件，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式识别，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列各数中是一元二次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求出的解，即可得出答案．也可将四个选项的值分别代入，判断等号两边是否相等即可．
【详解】解：，
因式分解得，
可得或，
解得，，
观察四个选项可知，只有选项C符合要求，
故选C．
【点睛】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的解，能够用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．与不是同类根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和运算法则，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
4. 若，则取值范围是（ ）
A. B. C. D. 全体实数
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，利用以及绝对值的意义进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握以及绝对值的意义是解题的关键．
5. 计算的结果是（ ）
A. 9B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用完全平方公式和二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 1C. 或3D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，列出方程，解之可得答案．
【详解】解：根据题意，得：，得，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
7. 若，，是的三边，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系判断出，再利用二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：∵，，是的三边，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，三角形的三边关系，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8. 用配方法解一元二次方程时，配方成的形式，则，的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
因此，，
故选C．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
9. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据非负数的性质得到，解得，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
，
故选：D
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、算术平方根的非负性、算术平方根的求法，根据非负数的性质得到方程组是解题的关键．
10. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，然后根据面积为得出方程．
【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次根式与___________同类二次根式（填“是”或“不是”）．
【答案】是
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：∵，，
∴二次根式与是同类二次根式，
故答案为：是．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12. 若方程是关于的一元二次方程，则应满是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的二次项系数不等于0是解题的关键．
13. 在实数范围内分解因式___________．
【答案】
【解析】
【分析】先把当成一个整体利用完全平方公式分解一次，再利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
14. 已知代数式和
（1）无论为何值，代数式值较大的代数式是___________．
（2）若这两个代数式的和为5，则的值为___________．
【答案】 ①. ②. 或1
【解析】
【分析】（1）两式相减，所得结果用配方法化成完全平方形式，利用平方的非负性求解；
（2）两式相加，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
，
因此无论为何值，代数式的值较大的代数式是，
故答案：；
（2），
整理，得，
因式分解，得，
或，
解得，，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查配方法的应用、解一元二次方程等，解题的关键是掌握配方法、因式分解法．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的混合运算法则和绝对值意义进行计算即可．
【详解】解：
、
.
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16. 若是关于的一元二次方程，求的值．
【答案】的值为3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式和关于k的一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
解不等式得：，
解方程得：，，
∴的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，注意二次项系数不等于0．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知关于的方程的一个根为
（1）求的值；
（2）求这个方程的另一个根
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入已知方程即可求得的值；
（2）利用根与系数的关系即可求得方程的另一根．
【小问1详解】
解：将代入方程得：
，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，即，
设方程的另一根为，
∴，
∴，
即此方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，将代入原方程求出m的值是解题的关键．
18. 交通警察通常根据汽车刹车后车轮划过的距离来估测车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数，在某次交通事故中调查测得，，若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？（参考数据：，）
【答案】肇事汽车超速了．
【解析】
【分析】根据所给的数据和经验公式求出该汽车的车速，再跟限速比较即可得出结论．
【详解】解：超速，理由为：
由题意，，
∵，
∴肇事汽车超速了．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，理解题意，求出该汽车的速度是解答的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，……
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式：___________；
（2）请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出第4个等式即可；
（2）根据前面几个等式猜想规律，再利用二次根式的运算法则进行证明即可．
【小问1详解】
解：根据题意得到第4个等式为：，
故答案为：
【小问2详解】
由题意：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，
……
∴第个等式为：，
证明如下：，
故结论成立．
【点睛】此题考查了二次根式规律题，熟练掌握二次根式的运算法则和找到规律是解题的关键．
20. 下面是小明解一元二次方程的过程：
解：原方程可化为，……第一步
方程两边同除以得，，……第二步
系数化为1得
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程
【答案】小明解答不正确，出现错误所在步骤、原因及正确解答过程见解析，，
【解析】
【分析】第一步以后，移项，方程左边提公因式分解因式，化成两个一元一次方程解答．
【详解】不正确，错误出现在第二步，
当时，丢掉根，
正确解法为：
原方程可化为，，
移项得，，
分解因式得，，
∴，或，
∴原方程的解为，，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法解一元二次方程，等式的基本性质．
六、解答题（本题满分12分）
21. 已知，
（1）分别求，的值
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；②
【答案】（1），；
（2）①，②9．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减法和平方差公式计算即可；
（2）①提公因式进行因式分解，然后代入求值；
②对分式进行通分，然后对分子进行变形，再代入求值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
①
；
②
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，分式的化简，熟练掌握运算法则和乘法公式，对所求式子灵活变形是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
（2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可；
（2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解．
【小问1详解】
证明：中，
，，，
，
无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：将代入，
得，即，
因式分解得，
解得，，
当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系，
等腰三角形的周长；
当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1，
，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在，
综上可知，等腰三角形的周长是6．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
八、解答题（本题满分14分）
23. 阅读材料，解决问题．
材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式．
材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．
问题：
（1）与是否是互为有理化因式？并说明理由；
（2）分母有理化：；
（3）化简
【答案】（1）与不是互为有理化因式，理由见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）求出与的积，然后根据互为有理化因式的定义判断；
（2）分子、分母同乘以进行计算即可；
（3）首先进行分母有理数，然后根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：与不是互为有理化因式，
理由：∵
，
∴与不是互为有理化因式；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．