安徽省阜阳市界首市第上中学九年级数学上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省阜阳市界首市第上中学九年级数学上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、、
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B，，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C，，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D，，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义．
3. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA=．
故选B．
5. 在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ）
A. 扩大4倍B. 保持不变C. 缩小4倍D. 扩大2倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
6. 在直角三角形中sinA的值为 ，则csA的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得的度数，从而可得的值.
【详解】在直角三角形中
故选：C.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记锐角三角函数值是解题关键.
7. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】AB被截成三等分，可得AB=3AE，AF=2AE，由EH∥FG∥BC，可得△AEH∽△AFG∽△ABC，则S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2，S阴影= S△AFG- S△AEH =S△ABC．
【详解】∵AB被截成三等分，
∴AB=3AE，AF=2AE，
∵EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9，
∴S△AEH= S△ABC, S△AFG=4 S△AEH，
S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC．
故选择：C．
【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH的关系，由△AEH与△ABC的关系来转化解决问题．
8. 一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，由三角函数表示出，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】解：中，
（米），
∴（米）
∴地毯的面积至少需要米
故选：D．
9. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【详解】
解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB=
AD=
csA=
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
10. 如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合.以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，一一判断即可解决问题．
【详解】解：如图：
∵正方形MNCB的边长是2，∴AE=2, BE=1,
在Rt△AEB中，
由翻折的性质得HB=AB=,
∴HE=
在Rt△AEH中，
故选项A正确，不符合题意；
∵AB∥DH，BH∥AD，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABHD是菱形，
∴AD=AB=
∴CD=AD=AD=-1
，故选项B正确，不符合题意；
∴BC2=CD•EH，故选项C正确，不符合题意；
∵四边形ABHD是菱形，
∴∠AHD=∠AHB，
≠，故选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 计算cs60°+sin30°=_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：原式=+=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12. 平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为，________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点P作轴于点A，由P点坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论．
【详解】解：过点P作轴于点A，如图：
∵点，
∴，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．
13. 中，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，正弦．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
如图，由题意知，，，代入求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
∴，
故答案为：1．
14. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．
【答案】30°或150°
【解析】
【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
故答案为30°或150°，
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题）
15. 计算：．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=-1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．
16. 已知，求下列算式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】设，则，，把a、b的值代入整式进行计算即可．
【小问1详解】
解：设（），则，，
∴；
【小问2详解】
解：设（），则，，
∴．
【点睛】本题考查比例的性质及整式代入求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
17. 在锐角中，和满足的关系式为求的度数．
【答案】的度数是
【解析】
【分析】根据非负数的性质得出，，求出和，进一步可以求出的度数．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
即的度数是．
【点睛】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值．
18. 如图，在中，，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解三角函数以及勾股定理的应用．
（1）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．
（2）利用三角函数的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∵，．
∴．
∴.
【小问2详解】
在中，，
∴.
19. 如图，已知为的平分线，且，，．求及的值．
【答案】
【解析】
【分析】由求出，继而求出，，继而求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
又∵为角平分线，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在小方格的格点上．
（1）点A的坐标是 ；点C的坐标是 ；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，请在网格中画出△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积为 ．
【答案】（1）（2，8），（6，6）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）直接利用已知点位置即可得出各点的坐标；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可画出△A1B1C1；
（3）根据三角形面积求法即可得出答案．
【详解】解：（1）由平面直角坐标系中△ABC的位置得：
点A的坐标是：（2，8）；点C的坐标是：（6，6）；
故答案为（2，8），（6，6）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（3）∵A1（1，4），B1（0，3），C1（3，3）
∴△A1B1C1的面积为：×3×1＝．
故答案为.
【点睛】本题考查位似变换以及三角形面积求法，解题的关键是正确得出对应点位置．
21. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．
（1）求，两点的高度差；
（2）求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）9m （2）24m
【解析】
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
【小问2详解】
过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22. 如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，则，，进而可证；
（2）由，可求，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像相交于A，P两点．
（1）求m，n值与点A的坐标；
（2）求证：∽
（3）求的值
【答案】（1），，点的坐标是；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标即可解答；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【详解】解：（1）∵正比例函数，反比例函数均经过点，
∴，，
解得：，.
∴正比例函数，反比例函数.
又正比例函数与反比例函数均中心对称图形，则其两个交点也成中心对称点，
∵，
∴点的坐标是.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵点的坐标是.
∴，，
∴，
∵，
∴△CPD∽△AEO，
∴.