安徽省阜阳市界首市第上中学2023-2024学年九年级数学上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省阜阳市界首市第上中学2023-2024学年九年级数学上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、、
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B，，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C，，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D，，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义．
3. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA=．
故选B．
5. 在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ）
A. 扩大4倍B. 保持不变C. 缩小4倍D. 扩大2倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
6. 在直角三角形中sinA的值为 ，则csA的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得的度数，从而可得的值.
【详解】在直角三角形中
故选：C.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记锐角三角函数值是解题关键.
7. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】AB被截成三等分，可得AB=3AE，AF=2AE，由EH∥FG∥BC，可得△AEH∽△AFG∽△ABC，则S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2，S阴影= S△AFG- S△AEH =S△ABC．
【详解】∵AB被截成三等分，
∴AB=3AE，AF=2AE，
∵EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9，
∴S△AEH= S△ABC, S△AFG=4 S△AEH，
S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC．
故选择：C．
【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH的关系，由△AEH与△ABC的关系来转化解决问题．
8. 一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，由三角函数表示出，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】解：中，
（米），
∴（米）
∴地毯的面积至少需要米
故选：D．
9. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【详解】
解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB=
AD=
csA=
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
10. 如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合.以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，一一判断即可解决问题．
【详解】解：如图：
∵正方形MNCB的边长是2，∴AE=2, BE=1,
在Rt△AEB中，
由翻折的性质得HB=AB=,
∴HE=
在Rt△AEH中，
故选项A正确，不符合题意；
∵AB∥DH，BH∥AD，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABHD是菱形，
∴AD=AB=
∴CD=AD=AD=-1
，故选项B正确，不符合题意；
∴BC2=CD•EH，故选项C正确，不符合题意；
∵四边形ABHD是菱形，
∴∠AHD=∠AHB，
≠，故选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 计算cs60°+sin30°=_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：原式=+=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12. 平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为，________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点P作轴于点A，由P点坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论．
【详解】解：过点P作轴于点A，如图：
∵点，
∴，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．
13. 中，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，正弦．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
如图，由题意知，，，代入求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
∴，
故答案为：1．
14. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．
【答案】30°或150°
【解析】
【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
故答案为30°或150°，
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题）
15. 计算：．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=-1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．
16. 已知，求下列算式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】设，则，，把a、b的值代入整式进行计算即可．
【小问1详解】
解：设（），则，，
∴；
【小问2详解】
解：设（），则，，
∴．
【点睛】本题考查比例的性质及整式代入求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
17. 在锐角中，和满足的关系式为求的度数．
【答案】的度数是
【解析】
【分析】根据非负数的性质得出，，求出和，进一步可以求出的度数．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
即的度数是．
【点睛】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值．
18. 如图，在中，，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解三角函数以及勾股定理的应用．
（1）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．
（2）利用三角函数的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∵，．
∴．
∴.
【小问2详解】
在中，，
∴.
19. 如图，已知为的平分线，且，，．求及的值．
【答案】
【解析】
【分析】由求出，继而求出，，继而求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
又∵为角平分线，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在小方格的格点上．
（1）点A的坐标是 ；点C的坐标是 ；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，请在网格中画出△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积为 ．
【答案】（1）（2，8），（6，6）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）直接利用已知点位置即可得出各点的坐标；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可画出△A1B1C1；
（3）根据三角形面积求法即可得出答案．
【详解】解：（1）由平面直角坐标系中△ABC的位置得：
点A的坐标是：（2，8）；点C的坐标是：（6，6）；
故答案为（2，8），（6，6）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（3）∵A1（1，4），B1（0，3），C1（3，3）
∴△A1B1C1的面积为：×3×1＝．
故答案为.
【点睛】本题考查位似变换以及三角形面积求法，解题的关键是正确得出对应点位置．
21. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．
（1）求，两点的高度差；
（2）求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）9m （2）24m
【解析】
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
【小问2详解】
过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22. 如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，则，，进而可证；
（2）由，可求，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像相交于A，P两点．
（1）求m，n值与点A的坐标；
（2）求证：∽
（3）求的值
【答案】（1），，点的坐标是；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标即可解答；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【详解】解：（1）∵正比例函数，反比例函数均经过点，
∴，，
解得：，.
∴正比例函数，反比例函数.
又正比例函数与反比例函数均中心对称图形，则其两个交点也成中心对称点，
∵，
∴点的坐标是.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵点的坐标是.
∴，，
∴，
∵，
∴△CPD∽△AEO，
∴.