安徽省合肥市部分学校九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市部分学校九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数的定义：形如且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可．
【详解】解：，自变量的最高次数是1，故A不符合题意；
，当时，不是二次函数，故B不符合题意；
，符合二次函数的定义，故C符合题意；
不是整式形式的函数，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
2. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，5）B. （﹣2，﹣5）C. （2，5）D. （2，﹣5）
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴公式进行计算即可．
【详解】解：，
抛物线的对称轴是直线，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数的对称轴为直线，熟练掌握此知识点是解题的关键．
4. 下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质可判断A，B，根据一次函数的图象与性质可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：∵的开口向上，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小，故A不符合题意；
∵的开口向下，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；
∵，，
∴y的值随x值的增大而增大，故C符合题意；
∵，，
∴y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的增减性，熟记二次函数与一次函数的增减性的判定方法是解本题的关键．
5. 某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
7. 将二次函数化成的形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用配方法化成顶点式即可得到答案．
【详解】解：，
将二次函数化成的形式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了把化成顶点式，正确运用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置可得出的范围，再根据的范围判断一次函数的图象所经过的象限，由此逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；
B、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过二、三、四象限，故B正确，符合题意；
C、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；
D、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧．
9. 已知函数，当时，y的最大值与最小值的和为（ ）
A. 8B. 10C. 2D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据的顶点坐标为，图象开口向上，可得当，，再分别求解，时的函数值，再比较即可得到最大值，从而可得答案．
【详解】解：∵的顶点坐标为，图象开口向上，
∴当，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，y的最大值与最小值的和为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的求解二次函数的最大值与最小值是解本题的关键．
10. 已知二次函数的部分图象如图所示，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论错误的是（ ）

A.
B. 若点，是抛物线上的两点，则
C.
D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】由对称轴为直线可以判断A；根据点，到对称轴的距离可以判断B；由时，得出，代入即可判断C；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，故A错误，符合题意；
抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故B正确，不符合题意；
时，，
，
，即，故C正确，不符合题意；
对称轴为直线，
点的对称点为，
开口向上，
时，则，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向向下，可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，熟记抛物线的开口向下，则二次项系数是解本题的关键．
12. 已知函数为二次函数，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案．
【详解】解：∵函数为二次函数，
∴，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键．
13. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可．
【详解】解：当，则，
设方程的两根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键．
14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）的度数是______；
（2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点Q，则的长的最大值是______．
【答案】 ①. ##90度 ②. 4
【解析】
【分析】（1）先分别求解A，B，C的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】解：（1）∵二次函数，
当时，则，
解得：，，
∴，，
当时，则，
∴，
∴，
∴；
（2）设直线为，
∴，解得： ，
∴直线为，
∵，设，则，
∴，
当时，的最大值为：；
故答案为：（1）；（2）4
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质求解线段长度的最值是解本题的关键.
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为：，再把代入，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为：，
把代入可得：
，
解得：，
∴抛物线为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据给定的条件设出合适的表达式是解本题的关键．
16 已知抛物线．

（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出该抛物线的图象．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标；
（2）先列表、再描点、连线，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
该抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：列表：
描点、连线如图所示：
.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数的图象，准确将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？
【答案】（1）y与x之间的函数表达式为：
（2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解；
（2）令代入方程求解即可．
【小问1详解】
解：长和宽增加后矩形的长为，宽为，
则由题意得
，
∴y与x之间的函数表达式为：.
【小问2详解】
解：将代入中得，，
解得，，（舍去），
∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(0，3)，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
【答案】（1）y=x2-4x+3，y=x-1；（2）x> 4或x< 1
【解析】
【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1, 0)，B(0, 3)，可以求得二次函数的解析式，再根据点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），
∴，得，
∴y= x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴二次函数的对称轴为直线x=2，
∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（4，3），
设一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点，
∴，得，
∴一次函数y=x-1，
即二次函数的解析式为y=x2-4x+3，一次函数的解析式为y=x-1；
（2）由图象可知，不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：x> 4或x< 1.
【点睛】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A的坐标为．

（1）求m的值以及二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，过点P作轴，交于点D，求线段的长．
【答案】（1），二次函数为；
（2）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入可得：，再把代入，可得二次函数解析式；
（2）先求解顶点P的坐标，再求解D的坐标，从而可得答案．
【小问1详解】
解：把点A坐标代入可得：，
∴，
∵二次函数过，
∴，
解得：；
∴二次函数为；
【小问2详解】
∵，
∴顶点坐标为：，
当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用待定系数法求解二次函数的解析式是解本题的关键．
20. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点是“完美点”，则_____；
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．
【答案】（1）1 （2）该“完美函数”的表达式为：或
【解析】
【分析】（1）由定义可得，求出的值即可；
（2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为2求出的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：点是“完美点”，
，即，
解得：，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：某“完美函数”的顶点在直线上，
设函数的顶点为，
该函数为“完美函数”，
，
解得：，
，
该函数的顶点为，
设二次函数的解析式为，
令，则，
该函数与轴的交点到原点的距离为2，
，
解得：或，
或
该“完美函数”的表达式为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21. 已知二次函数的图象与轴交于两点，且点在点的左侧．
（1）当时，求点的坐标；
（2）若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为
（2）的面积不发生变化，的面积为1
【解析】
【分析】（1）将代入可得，令，解方程即可求解；
（2）令，有，解方程得出点的坐标，则，由直线经过点，可得直线为，联立求解方程组得到点的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，则，
解得：，，
点在点左侧，
点的坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
解：的面积不发生变化，
理由如下：
对于抛物线，
当时，则，
解得：，，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
直线经过点，
，
，
直线的解析式为：，
联立，
解得：，，
点在上，
当时，，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
（3）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大值．
【答案】（1）；
（2）能，理由见解析；
（3）米时，三根“光带”长度之和L的最大值为15米．
【解析】
【分析】（1）根据所建坐标系知顶点P和与x轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是；
（2）根据对称性当车宽2.5米时，或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点A或点B的坐标表示三段的长度从而得出表达式．
【小问1详解】
解：∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为， 即.
【小问2详解】
当时，，
故能行驶宽2.5米、高米的消防车辆．
【小问3详解】
设点A的坐标为，则，，
根据抛物线的轴对称，可得：，
∴，即，
令，
当 时，最大值为：，
故当，即米时，三根“光带”长度之和L的最大值为15米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．关键是首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后利用函数性质解决问题．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．

（1）求直线的表达式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在点M，使得是以为直角的三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线为
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）先求解，设直线为，可得，可得直线为；
（2）如图，过作轴交于，设，则，可得，则，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解，由，设，可得，，，由，可得，再建立方程求解即可
【小问1详解】
解：∵抛物线，
当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为；
【小问2详解】
如图，过作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
当时，；
【小问3详解】
∵抛物线，
∴，
∵，设，
∴，，
，
∵，
∴，

∴，即，
解得：，，
∴或.
0
1
2
3
3
0
0
3