2025年安徽省六安市金寨县中考质量调研数学试卷 （解析版）-A4

这是一份2025年安徽省六安市金寨县中考质量调研数学试卷 （解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，据此求解即可等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．共八大题，23个小题，满分150分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选B．
2. 截至2024年12月5日，我省全社会入统企业收购秋粮643.5万吨．将数据“643.5万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：643.5万，
故选：C．
3. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，据此逐一计算判断即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意，
故选：B．
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图的位置判断，只有B选项符合题意，
故选：B．
5. 已知，，则代数式的值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则进行化简，再把、代入计算即可．
【详解】解：，，
∴原式
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和具有整体代入思想是解题的关键．
6. 某中学师生人数的扇形统计图如图所示，若九年级学生人数与教职工人数之和为600，则全校师生人数之和为（ ）
A. 1200B. 1000C. 1800D. 1500
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
求出九年级学生人数与教职工人数的占比，再拿600除以占比即可求解．
【详解】解：由题意得，教职工占比为：，
∴全校师生人数之和为（人），
故选：D．
7. 如图，扇形的面积和的长的数值均为，则半径（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长和面积公式，设半径为，，根据扇形的弧长和面积公式列方程即可解答，熟练利用扇形的弧长和面积公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：，
则，
故选：C．
8. 如图，点，，均在上，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是利用圆的半径相等和等腰三角形的性质．连接，根据，得，根据等边对等角得出，根据内角和定理和圆周角定理得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
又
故选：B．
9. 已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，根据题意可得，即可求得之间的关系，再判断一次函数的图象即可解答，熟知二次函数相关的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
当时，，
，
，
，
则中，随的增大而增大，且直线经过原点，
中，随的增大而减小，且与轴交于正半轴，没有选项与之相符；
当时，，，
则中，随的增大而减小，且直线经过原点，
中，随的增大而增大，且与轴交于负半轴，只有D选项与之相符，
故选：D．
10. 如图，在正方形中，， 分别是，的中点，，相交于点，与相交于点，分别连接，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 平分C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐项判断即可．
【详解】如图1，分别延长，相交于点，
正方形，
，，，
，
是的中点，
，
．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选项结论正确；
如图2，过点作，与的延长线交于点，作于点．
同理可证，
，，，
，
，
，
，
平分，
故选项B结论正确；
，
．
，
，
，
故选项C结论正确；
∵，
∴四边形为正方形，
，，
，
故选项D结论错误．
故选：D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，先算零指数幂和立方根，再加减即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与双曲线函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．将代入求出的值，得到点的坐标，代入双曲线函数解析式中即可得到答案．
详解】解：将代入，
，
将代入，
．
故答案为：．
13. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键．
【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7，
，
根据题意可得，
则设，
根据勾股定理可得，
即，
解得（负值舍去），
的周长为，
，
，
，
每个直角三角形的周长介于和之间，
，
故答案为：．
14. 如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点．
（1）若，，则________．（用含的式子表示）
（2）若，，，则的长为________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据折叠性质得到垂直平分，得到，得出，根据直角三角形的性质得到，根据等边对等角得到，三角形内角和定理，三角形外角的性质，计算即可得到答案；
（2）作于点，求出，根据平行线分线段成比例得到，得到．
【详解】解：（1）根据题意得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为；
（2）如图，作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意化简得到，再利用直接开方法进行计算即可．
【详解】解：，
，
解得，．
16. 某超市二月份的利润比一月份增加，三月份的利润比二月份减少了．已知该超市这3个月的利润之和为70.4万元．求该超市一月份的利润．
【答案】该超市一月份的利润为20万元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设该超市一月份的利润为万元，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元．再结合“该超市这3个月的利润之和为70.4万元”建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设该超市一月份的利润为万元，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元．
由题意，得，
解得．
答：该超市一月份的利润为20万元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，线段的端点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将线段向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，请画出线段（点，分别为，的对应点）．
（2）在（1）的条件下，连接，，将绕点逆时针旋转，得到，请画出（点，，的对应点分别为，，）．
（3）写出（2）中得到的点的坐标：________．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平移和旋转作图，理解平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）将点分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点，再连接即可；
（2）先画出点，，绕点逆时针旋转后的点，，，再连接即可；
（3）由旋转后的位置即可确定坐标．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所作：
【小问2详解】
解：如图，即为所作；
【小问3详解】
解：由作图可知，
故答案为：．
18. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
用上述等式反映的规律，解答下列问题．
（1）请直接写出第5个等式：________．
（2）猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明．
【小问1详解】
解：由题意可得，
第5个等式是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
证明：右边，
等号左边等于等号右边的式子，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 《海岛算经》由我国古代数学家刘徽于公元263年撰写，书中有一测量海岛高度的几何图形．如图，在地面的，两处分别观测到海岛最高处的仰角为，，且，求海岛的高度（即点到直线的距离）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】海岛的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，利用解直角三角形列方程即可解答，熟练利用三角函数解题是关键．
【详解】解：如图，过点作于点．
在中，，
．
在中，，
．
，
，
即，
解得．
答：海岛的高度约为．
20. 如图，线段与相切于点，的一条弦，连接，交于另一点，交于点．
（1）如图1，经过圆心，连接，，求证：．
（2）如图2，不经过圆心．若，，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）证明，，再根据，即可得到结论；
（2）设与相交于点，连接，根据三角函数得到，设，则，在中，，即，解得的值即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
．
，
．
，
．
，，
；
【小问2详解】
解：如图，设与相交于点，连接．
，
．
，
．
在中，设，则．
，
．
在中，，即，
解得，（舍去），
．
，
．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
在苹果收获的季节，班级同学前往某苹果种植农场开展综合实践活动，其中一个项目是在外部环境基本相同的条件下，对甲，乙两个品种苹果树的产量进行调查统计，为农场进一步发展提供一些参考．
【数据收集与整理】
按苹果树单棵的产量（单位：斤）从高到低各随机取5棵分别编为号，对它们的产量进行统计，并绘制出条形统计图如下：
（1）直接写出统计图中，的值．
（2）根据上图中的数据，补充完整下面的苹果树单棵产量统计分析表．
【数据分析与运用】
（3）哪个品种苹果树单棵产量更稳定？请通过计算说明理由．
（4）该农场准备从以上随机选取的甲、乙两个品种苹果树中取出产量最高的，从中任选两棵进一步分析，求选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的概率．
【答案】（1），．
（2）见解析
（3）甲品种苹果树的单棵产量更稳定，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，求中位数，众数和方差，利用列表法求概率：
（1）直接从条形图获取信息，作答即可；
（2）根据中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）求出方差，利用方差判断稳定性即可；
（4）利用列表法进行求解即可．
【详解】解：（1）由条形图可知：，．
（2）甲品种的5个数据，位于中间的一个是85，故中位数为85；
乙品种，出现次数最多的数据为：100，故众数为100；
填表如下：
（3）甲品种苹果树的单棵产量更稳定，理由如下：
∵；
，
∴，
∴甲品种苹果树的单棵产量更稳定；
（4）由条形图可知，产量最高的为100，其中甲品种1棵，乙品种2棵，用表示甲品种，表示乙品种，列表如下：
共6种等可能的结果，其中选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的结果有4种，
∴．
七、（本题满分12分）
22. 如图，，两点均在菱形的对角线上，射线交边于点．
（1）如图1，若．
①求证：．
②过点作于点，求证：．
（2）如图2，射线交于点，若，，，求的长．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据菱形性质得到，利用已知结合三角形内角和得到，从而得出结论；②连接，先证明，再证明，利用等角对等边得到，结合已知得出结论；
（2）连接，先推出四边形为平行四边形，利用菱形性质得到，得到，设，则，列式解出x的值即可．
【小问1详解】
①证明：四边形为菱形，
．
，
．
，，，
．
，
．
②证明：如图1，连接．
由（1）①，可得，，
，
．
又，
，
．
，
，
．
，
为中点，
；
【小问2详解】
解：如图2，连接．
，，
四边形为平行四边形．
∴，
∴，
∴，
四边形为菱形，
，，
．
设，则，
，
解得，（不合题意，舍去），
即的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）若，．
①求抛物线的函数表达式；
②过点作的垂线，交抛物线于点，求线段的长．
（2）已知，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）的值为或
【解析】
【分析】（1）①利用待定系数法求解，即可解题；
②过点作轴于点，连接，交轴于点．由二次函数与坐标轴交点情况可知是等腰直角三角形，进而得到，是等腰直角三角形， 设点，结合等腰直角三角形性质建立等式求出点坐标，最后利用勾股定理求解，即可解题．
（2）根据题意得到二次函数的顶点坐标为，结合二次函数性质分以下三种情况，①当，即时，二次函数在处取最大值，在处取最小值，②当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，③当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值求解，即可解题．
【小问1详解】
解：①由题意，可得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
②如图，过点作轴于点，设交轴于点．
由抛物线解析式可知，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
轴，
，
，
．
设点，则，
，，
，
，
，
，则，
，解得或（不合题意，舍去），
点．
点，
．
【小问2详解】
解：由题意，得二次函数的顶点坐标为．
当时，；当时，．
分以下三种情况：
①当，即时，二次函数在处取最大值，在处取最小值，
，解得（不合题意，舍去）；
②当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，
，解得（不合题意，舍去），；
③当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，
，解得（不合题意，舍去），．
综上所述，的值为或．
品种
平均数
中位数
众数
甲
85
85
乙
85
80
品种
平均数
中位数
众数
甲
85
85
85
乙
85
80
100
，
，
，
，
，
，