2025年安徽省名校之约第一次联考中考模拟数学试卷（解析版）-A4

这是一份2025年安徽省名校之约第一次联考中考模拟数学试卷（解析版）-A4，共24页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最小数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：，，
∵，
∴最小的数是，
故选：A．
2. 如图所示的几何体的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，结合图形，根据主视图的定义即可求得答案，注意虚线和实线的区别．
【详解】解：由题干中的几何体可得其主视图为
故选：D．
3. 随着中国经济持续发展，乘用车的销售量也快速增加．2024年11月8日，网通社快讯：10月全国乘用车零售226.1万辆，同比增长11.3%，环比增长7.2%；今年以来累计零售1783.5万辆，同比增长3.2%．数据1783.5万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数据1783.5万用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方计算后判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
∴的值不可能是，
故选：D．
6. 如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别判断即可．
【详解】解：∵为平行四边形，
∴，，
∴；
A、当无法得出，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
故此选项符合题意；
C、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意；
D、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意．
故选：B．
7. 若实数，满足且，则下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．由题意可知，，那么可转化成，然后解不等式即可．
【详解】解：
故选：B．
8. 如图，内接于，若为的直径，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据定理圆周角得到，，再根据求解即可．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度后图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的平移、求正比例函数的解析式，根据将直线向左平移个单位长度后图象经过点，可得平移前直线经过点，利用待定系数法求出的值即可．
【详解】解：将直线向左平移个单位长度后图象经过点，
平移前直线经过点，
即直线经过点，
可得：，
解得：，
故选：A．
10. 如图，在矩形中，某同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①分别以点和为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点和；②连接分别交于点，交于点；③连接．若，，三点在一条直线上，则下列说法不正确的是（ ）
A. 直线垂直平分线段B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，由尺规作图判断A；由尺规作图得，即可得为等边三角形，再由等边三角形的性质可判断B；证明得，即，即可判断C；由可判断D．
【详解】解：A、由尺规作图知，直线垂直平分线段，选项A正确，不符合题意；
B、如图，连接，由尺规作图知：，
为等边三角形，易知，
，选项B正确，不符合题意；
C、同理可得，
，
，
，
，
又，
，
，即，选项C正确，不符合题意；
D、，
，选项D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知实数，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义可得：且，从而可得，进而可得，然后把，的值代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
且，
解得：且，
，
，
，
故答案为：．
12. 1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法－随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了：这个概率是．某数学兴趣小组做了这个实验来估计的近似值．他们取，得到实验数据如下：
由此估计的近似值为_____（精确到0.01）．
【答案】3.36
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
∴的近似值为3.36，
故答案为：3.36．
13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
反比例函数的表达式为．
点的横坐标为6，
点．
由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即．
故答案为：或
14. 如图，在中，，，．点是上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接．
（1）_____；
（2）当取得最小值时，的长为_____．
【答案】 ①. 75 ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，，，然后根据三角形内角和，得出答案；
（2）连接，作交的延长线于点，交于点，过点作于点，先证明垂直平分线段，，那么当在点位置时，最小，此时点在点位置，先证明 ，得到，设，则，，证明，推出，利用得出答案．
【详解】解：（1），理由如下：
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
故答案为：75．
（2），理由如下：
连接，作交的延长线于点，交于点，过点作于点，如图所示：
，点为的中点，
，垂直平分线段
，
当在点位置时，最小，此时点在点位置
，
设，则，
，
，
，解得
即的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了余弦，有理数的乘方，零指数幂等知识．熟练掌握余弦，有理数的乘方，零指数幂是解题的关键．
分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为．其中，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）画出关于轴对称的，其中，点与点对应，点与点对应；
（2）直接写出以为顶点的四边形的面积为_____；
（3）点为轴上一点，当的值最大时，保留作图痕迹，并写出点的坐标为_____．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）见解析，
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的作图、求一次函数解析式、利用网格求面积等知识．
（1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到答案；
（2）利用包含四边形的长方形面积减去直角三角形和小正方形的面积即可；
（3）连接并延长交轴于点，则点即为所求，求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，以为顶点的四边形的面积为，
故答案为：
【小问3详解】
连接并延长交轴于点，则点即为所求，
由题意可得，设直线的解析式为，
则
解得
∴
当时，，解得，
∴
故答案为：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．”春暖花开的时候，某商铺打算购进甲、乙两种纪念品对游客销售．已知元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，并且甲种纪念品的进价比乙种纪念品的进价每件多元，求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？
【答案】甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元，根据元采购甲种纪念品的件数是元采购乙种纪念品件数的倍，可列关于的分式方程，解分式方程要注意检验．
【详解】解：设甲种纪念品每件的进价为元．则乙种纪念品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的根，且符合题意，
，
答：甲种纪念品每件的进价为元，乙种纪念品每件的进价为元．
18. 下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成．
（1）按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个；
（2）按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值．
【答案】（1）17，28
（2）的值为8
【解析】
【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键．
（1）根据已知图形找到规律即可得到答案；
（2）根据（1）中的规律得到在第个图案中，“◎”的个数为，“●”的个数为，根据题意列方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
第1个图案中有“◎”5个，有“●”个；
第2个图案中有“◎”个，有“●”个；
第3个图案中有“◎”个，有“●”个；
即可得到第5个图案中有“◎”个，有“●”个；
故答案为：17，28
【小问2详解】
按照（1）中的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数为
在第个图案中，“●”的个数为，
根据题意可得，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，教学楼广场前面有两棵树，从教学楼顶部点观察，香樟树树顶、桂花树树顶恰好在一条直线上，且俯角为，同时测得香樟树的底部的俯角为，桂花树、香樟树、教学楼处在同一平面上，同时已知教学楼的高为，并测得间的距离为，试求桂花树的高．（精确到，参考数据：，
【答案】桂花树的高约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点作，交延长线于点，在中，利用可以求出：，在中，利用，可以求出，根据可以求出桂花树的高度．
【详解】解：如下图所示，过点作，交延长线于点，
四边形为矩形，
，，
在中，，，，，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
在中，，，，
，即，
解得：，
，
答：桂花树的高约为．
20. 如图，是的内接三角形，是的直径且，点在上，点是的中点，，相交于点，在延长线上取点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查圆的性质定理，切线长定理，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据题意证明直线是线段的垂直平分线，证明，得到，即可证明，即可得到结论；
（2）设，则，根据题意列出方程，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：是的直径．
．
．
，
直线是线段的垂直平分线．
．
．
点是的中点，
．
．
．
在中，，
．
，即．
．
是的切线．
【小问2详解】
解：，
∴，
．
．
设，则．
．
在Rt中．，
，即．
．
在中，．
由（1）知．
．
在中，，．
，
解得．
．
（负值舍去）．
六、（本题满分12分）
21. 随着无人机灯光秀在各地的展演，为激发学生对科技的热情，学校的科技创新社团在学期末举办了青少年科技创新大赛，赛后从八、九两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
①八年级学生成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为5组：；
②八年级学生成绩在这一组的是：80.5，81，81，82，83，84，84，84.5，85，85.5，86，87，88，88，89，90；
③八、九年级学生成绩的平均数、中位数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中的值为_____；
（2）若成绩90分及以上为优秀，八年级共有学生900名，估计本次大赛八年级学生成绩为优秀人数；
（3）小明此次比赛的成绩为84分，在他所在的年级中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小明是哪个年级的学生，并说明理由．
【答案】（1）82.5
（2）估计本次大赛八年级学生成绩为优秀人数为252人
（3）小明是八年级的学生，见解析
【解析】
【分析】本题考查了统计的相关知识，涉及频数分布直方图，中位数的求解，样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据中位数的定义求解；
（2）用900乘以用90分及以上的人数的占比即可求解；
（3）根据中位数的定义求解．
【小问1详解】
解：由条形统计图可得，第25个数和第26个数分别为82，83，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：八年级90分及以上的人数为（人），
（人），
答：估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数为252人；
【小问3详解】
解：小明是八年级的学生，理由如下：
因为八年级学生成绩的中位数为82.5，九年级学生成绩的中位数为85，而小明的成绩84分超过了八年级一半以上的同学，但未超过九年级一半以上的同学，所以小明是八年级的学生．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，点在边长为的等边的边上，连接，过点作，且，过点作交的延长线于点．
（1）若，求的长；
（2）如图2，当点在的延长线上时，
①试求的长；
②如图3，过点作，且，连接交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）
（2）① ；② 见解析
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，结合是等边三角形，可得垂直平分，得到，，，结合可推出，得到，即可求解；
（2）①过点作于点，过点作于点，由等边三角形的性质可得，，，，结合，，推出，根据角平分线的性质可得，证明，得到，推出，得到，证明，即可求解；②连接．由题意知、均为等腰直角三角形，证明，得到，推出，进而得到，推出是等腰直角三角形，即可得证．
【小问1详解】
解：如图1，取中点，连接．
是等边三角形，点为的中点，
垂直平分，
，，，
．
．
．
，
．
，，，
．
，
；
【小问2详解】
①解：如图2，过点作于点，过点作于点．
为等边三角形，，
，，，，
，，
．
．
．
．
，，
．
又，
．
．
．
，
．
同（1）同理可证：．
；
②证明：如图3，连接．由题意知、均为等腰直角三角形．
，．
．
．
又，
．
，，
．
．
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）过点作轴的平行线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，的最大值为
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线解析式，线段最值问题，图形翻折等知识点；
（1）把，，代入解析式列方程计算即可；
（2）设先求出直线的表达式为，过点作轴交直线于点，交轴于点．由已知得到，当取最大值时，的值也最大，设点，则点，表示出求最大值即可．
（3）设交轴于点．先得到为等腰直角三角形，设点的坐标为，则，得到点的坐标为，再根据点在抛物线上列方程求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于点，
．
把点代入，
得，
解得，
该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：设直线的表达式为，
把．代入得，
解得，
直线的表达式为．
如答图1．过点作轴交直线于点，交轴于点．
点，
．
．
，
即．
．
当取最大值时，的值也最大．
设点，则点．
．
，
当时，有最大值．
，．
即当取最大值时，点的坐标为，此时，的最大值为．
【小问3详解】
解：如图2，设交轴于点．
由题意知，
为等腰直角三角形．
设点的坐标为，
．
．
点的坐标为．
又点抛物线上，
，
解得或（舍去）．
．
实验次数
500
相交频数
149
相交频率
0.298
年级统计量
平均数
中位数
八年级
85.4
九年级
86.8
85