广东省江门市棠下中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 经过两点 ，则 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.
【详解】由 ，得 的斜率为 ．
故选：A
2. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】 , ,
故选：D
3. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙
两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
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【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是 ，不获一等奖的概率是
，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：
.
故选：D
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
4. 某人用手机记录了他连续 10 周每周的走路里程（单位：公里），其数据分别为 ,
，则这组数据的 分位数是（ ）
A. 7 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】先将数据按从小到大顺序排列，再利用百分位计算.
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为 .
因为 ，
则这组数据的 分位数是这组数据中的第 6 个和第 7 个数据的平均数，即 .
故选：C.
5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，
发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 300 人，南面
有 200 人，这三面要征调 60 人，而北面共征调 10 人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A. 200 B. 100 C. 400 D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可
【详解】设北面共有 人，则由题意可得
，解得 ，
所以北面共有 100 人，
故选：B
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6. 已知 M，N 分别是四面体 的棱 ， 的中点，点 P 在线段 上，且 ，设向量
， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.
【详解】在四面体 中， 分别为 的中点，且 ，
所以
.
故选：C
7. 在三棱锥 中， ， ， ， 两两垂直， 为 的中点， 为
上更靠近点 的三等分点， 为 的重心，则 到直线 的距离为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求距离即可.
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【详解】
以 为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
得 ， ，
取 ， ，
则 ， ，
所以点 到直线 的距离为 ．
故选：C.
8. 如图，正方体 的棱长为 2，线段 上有两个动点 E，F（E 在 F 的左边），且
. 下列说法正确的是（ ）
A. 当 E，F 运动时，存在点 E，F 使得
B. 当 E，F 运动时，存在点 E，F 使得
C. 当 E 运动时，二面角 的最小值为
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D. 当 E，F 运动时，二面角 的余弦值为定值
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积的计算，可判断 A；假设
，可推出矛盾判断 B；求得相关平面的法向量，利用空间角的向量求法，可判断 C，D.
【详解】对于 A，以 C 为坐标原点， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
由于 ，设 ，
则 ，
则 ，
所以当 E，F 运动时，故存在点 E，F 使得 ，A 错误；
对于 B，若 ，则 四点共面，与 与 是异面直线矛盾，B 错误；
对于 C，设平面 的法向量为 ，又 ，
故 ，令 ，则 ，
平面 的法向量可取为 ，
故 ，
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因为 ，且函数 在 上单调递降，所以 ，
当且仅当 时， 取到最大值，
设二面角 的平面角为 ，则 最大值为 ，
即二面角 的最小值为 ，C 正确；
对于 D，连接 ，平面 即为平面 ,平面 即为平面 ,
平面 的法向量可取为 ,
设平面 的法向量为 ，又 ，
故 ，令 ，则 ，
故 ，
由图知二面角 为锐角，
则二面角 的余弦值为定值 ，D 错误，
故选：C
【点睛】方法点睛：涉及到空间角的计算问题，一般方法是建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，
结合向量的夹角公式进行求解.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（ ）
A. 这组数据的众数为 2 B. 这组数据的极差为 3
C. 这组效据的平均数为 2 D. 这组数据的中位数为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据众数，极差，平均数，中位数的概念依次计算即可.
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【详解】对 A，该组数据众数为 1，故错误；对 B，极差为 4-1=3，故正确；
对 C，平均数为 ，故正确；
对 D，中位数为 2，故错误
故选：BC
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 非零向量 ， ，若 ，则
B. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 ， ， ， 四点共面
C. 设 是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底
D. 若空间四个点 ， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量垂直的定义可判断 A 的正误，根据四点共面的判断方法可判断 B 的正误，根据基底向量
的条件可判断 C 的正误，根据三点共线的判断方法可判断 D 的正误.
【详解】对于 A，对于非零向量 ， ，若 ，则 ，正确；
对于 B，若对空间中任意一点 ，有 ，
∵ ，∴ ， ， ， 四点共面，故正确；
对于 C，∵
∴ ， ， 共面，不可以构成空间的一组基底，故错误；
对于 D，若空间四个点 ， ， ， ， ，
∵ ，则 ， ， 三点共线，故正确．
故选：ABD．
11. 如图，棱长为 1 的正方体 中，P 为线段 上的动点（不含端点），则下列说法中正
确的是（ ）
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A. 平面 平面
B. 多面体 的体积为定值
C. 恒为锐角三角形
D. 直线 与 所成的角可能为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，根据正方体结构特征，结合面面垂直的判定定理，可判断 A 正确；
B 选项，根据等体积法，由 ，结合三棱锥的体积公式，即可判断 B 正确；
C 选项，通过特殊位置（如点 为 的中点），判断 的形状，即可得 C 错；
D 选项，根据异面直线所成角的概念，作出异面直线所成角，求出角的正切值范围，即可判断 D 正确.
【详解】对于 A，∵在正方体 中，有 平面 ，则 平面 ，因为
平面 ，∴平面 平面 ，故 A 正确；
对于 B，因为点 到平面 的距离显然等于棱长，为 ，
所以 ，即 定值；故 B 正确；
对于 C，当 为 的中点时， ， ， ，此时
，即 为直角三角形，故 C 错；
对于 D，因为 ，所以直线 与 所成的角即等于直线 与 所成的角，即为 ，
又 ， ，∴ 可能为 ，D 正确；
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故选：ABD．
【点睛】思路点睛：
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面
直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 过定点 且与直线 平行的直线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行直线系的性质即可求解.
【详解】设与直线 平行的直线方程为 ，
将 代入可得 ，解得 ，
故所求直线方程为 ，
故答案为：
13. 在空间直角坐标系中，若 ， ，且 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据 列方程得到 ，然后求模即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
.
故答案 ： .
14. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 .若 的平均数与方差相等，
则 的最大值为___________.
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【答案】
【解析】
【分析】根据平均数的性质，结合二次函数的最值求解即可
【详解】由题意可得 ，因为 ，所以 ，解得 .
令 ，当 时， 取得最大值
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明或演算步骤．
15. 已知点 、 、 ， ．
（1）若 ，且 ，求 ；
（2）求 ．
【答案】（1） 或 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的模和向量共线的坐标表示，求解即可；
（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
【小问 1 详解】
根据题意， ，
因为 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
则 或 ；
【小问 2 详解】
因为
，
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所以 ．
16. 已知 的顶点 ，线段 的中点为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，
（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，
解得 .
【小问 2 详解】
设线段 的中点为 ，由（1）知 ，则 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，化简得 ，
即 边上的中线所在直线的方程为 .
17. 在空间直角坐标系中，平行四边形 的三个顶点为 ．
（1）求 的坐标；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据 ，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得 ，利用向量的夹角公式，求得 ，
得到 ，结合面积公式，即可求解.
【小问 1 详解】
解：设点 的坐标为 ，
由 ，可得 ，
因为四边形 是平行四边形，可得 ，
所以 ，解得 ，即点 坐标为 .
【小问 2 详解】
解：由题意得 ，则 ，
所以 ，可得 ，
故四边形 的面积为 ．
18. 某高校承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，
55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直
方图，已知第三､四､五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求 a，b 的值；
（2）根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为 17%，请估算被录取至少需要多少分；
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（3）在第四､第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人以
定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1） ， ；
（2）79 分； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据三、四、五组的频率之和为 0.7，及各组的频率之和为 1 建立方程组即可解得答案；
（2）根据题意确定出录取分数落在第四组，进而根据频率为 0.17 建立方程解得答案即可；
（3）先确定出两组应分别抽取多少人，进而利用列举法求得答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 ， .
【小问 2 详解】
由频率分布直方图得 和 的频率分别为 0.2，0.05，故录取分数落在第四组，设其为 x，
，解得 ，所以被录取至少需要 79 分.
【小问 3 详解】
由题意在第四组中抽取 4 人，设为 a､b､c､d，在第五组中抽取 1 人，设为 e.
在 5 人中随机抽取 2 人，则试验的样本空间 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de ，共有 10 个样
本点，记事件 A=“两人来自不同组”，则 A ae，be，ce，de ，共有 4 个样本点，故 ，所
以两人来自同一组的概率为 .
19. 如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，
， 、 分别为 、 的中点，上下底面中心的连线 垂直于上下底面，且 与
侧棱所在直线所成的角为 .
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（1）求证： 平面 ；
（2）边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线
段 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行；
（2）假设存在，由空间向量法求线面角可得．
【小问 1 详解】
因为 平面 ，以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建
立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线 所成的角为 ，则
，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
因为 ；
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，
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所以 平面 .
【小问 2 详解】
假设边 上存在点 满足条件， ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
由题意可得
化简得 ，则 或 （舍去），
即存在点 符合题意，此时 .
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