2025-2026学年广东省江门市棠下中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省江门市棠下中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l经过两点4,-2,-3,4，则l的斜率为( )
A. -67B. 67C. -76D. 76
2.已知a=2,-3,1，b=2,0,3，c=0,0,2，则a⋅b+c=( )
A. 5B. 4C. 7D. 9
3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. 34B. 23C. 57D. 512
4.某人用手机记录了他连续10周每周的走路里程(单位：公里)，其数据分别为12,15,9,8,14，11,17,10,7,16，则这组数据的60%分位数是( )
A. 7B. 12C. 13D. 14
5.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有( )人．”
A. 200B. 100C. 400D. 300
6.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量OA=a，OB=b，OC=c，则OP=( )
A. 16a+16b+16cB. 13a+13b+13c
C. 16a+13b+13cD. 13a+16b+16c
7.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为▵BCD的重心，则O到直线EF的距离为( )
A. 4 265B. 3 265C. 2 265D. 265
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F(E在F的左边)，且EF= 2.下列说法正确的是( )
A. 当E，F运动时，存在点E，F使得AE⊥CF
B. 当E，F运动时，存在点E，F使得AE/​/BF
C. 当E运动时，二面角E-AB-C的最小值为45 ∘
D. 当E，F运动时，二面角A-EF-B的余弦值为定值13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则( )
A. 这组数据的众数为2B. 这组数据的极差为3
C. 这组效据的平均数为2D. 这组数据的中位数为32
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 非零向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 设a,b,c是空间中的一组基底，则{a-b,b+c,a+c}也是空间的一组基底
D. 若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线
11.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列说法中正确的是( )
A. 平面A1D1P⊥平面A1APB. 多面体CDPD1的体积为定值
C. △APD1恒为锐角三角形D. 直线D1P与BC所成的角可能为π6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过定点1,2且与直线x-3y+1=0平行的直线方程为 ．
13.在空间直角坐标系中，若a=1,1,- 3，b=(1,-1,x)，且a⊥b，则a+b= ．
14.已知一组数据x1,x2,⋅⋅⋅,xn的平均数为x，方差为s2.若2x1+4,2x2+4,⋅⋅⋅,2xn+4的平均数与方差相等，则2s2-x2的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点A-2, 0, 2、B-1, 1, 2、C-3, 0, 4，a=AB, b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求c；
(2)求csa, b．
16.(本小题15分)
已知▵ABC的顶点A0,4,B2,0,C-5,m，线段AB的中点为D，且CD⊥AB．
(1)求m的值；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
17.(本小题15分)
在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A0,-1,1,B0,1,2,C3,1,3．
(1)求D的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积．
18.(本小题17分)
某高校承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为17%，请估算被录取至少需要多少分；
(3)在第四､第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人以定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
19.(本小题17分)
如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45 ∘．
(1)求证：BD1//平面C1EF；
(2)边BC上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为3 2222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.C
7.C
8.C
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.x-3y+5=0
13. 7
14.94
15.【详解】(1)根据题意，BC=(-2,-1,2)，
因为c//BC，则c=λBC=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ)，
又|c|=3，则4λ2+λ2+4λ2=9，则λ=±1，
则c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2)；
(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2)
|a|= 2,|b|= 5,a⋅b=-1，
所以cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=-1 2× 5=- 1010．

16.【详解】(1)因为A0,4,B2,0，所以D的坐标为1,2，
因为CD⊥AB，所以m-2-5-1×4-00-2=-1，
解得m=-1．
(2)设线段BC的中点为E，由(1)知C-5,-1，则E-32,-12，
所以kAE=4+120+32=3，
所以直线AE的方程为y-4=3x-0，化简得3x-y+4=0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x-y+4=0．

17.【详解】(1)解：设点D的坐标为x,y,z，
由A0,-1,1,B0,1,2,C3,1,3，可得AB=0,2,1,DC=3-x,1-y,3-z，
因为四边形ABCD是平行四边形，可得AB=DC，
所以3-x=01-y=23-z=1，解得x=3,y=-1,z=2，即点D的坐标为3,-1,2．
(2)解：由题意得AD=3,0,1,AB=0,2,1，则AD= 10,AB= 5,AB⋅AD=1，
所以cs∠BAD=AB⋅ADABAD= 210，可得sin∠BAD=7 210，
故四边形ABCD的面积为S=2×12ABADsin∠BAD=7．
18.【详解】(1)由题意得(2a+b+0.045+0.020)×10=1(a+0.045+0.020)×10=0.7，解得a=0.005，b=0.025．
(2)由频率分布直方图得[75,85)和[85,95)的频率分别为0.2，0.05，故录取分数落在第四组，设其为x，0.02(85-x)+0.05=0.17，解得x=79，所以被录取至少需要79分．
(3)由题意在第四组中抽取4人，设为a､b､c､d，在第五组中抽取1人，设为e．
在5人中随机抽取2人，则试验的样本空间Ω={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共有10个样本点，记事件A=“两人来自不同组”，则A={ae，be，ce，de}，共有4个样本点，故P(A)=410=25，所以两人来自同一组的概率为25．
19.【详解】(1)因为OO1⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，DA,OF,OO1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO1所成的角为45∘，则
B(2,2,0),D1(-1,-1, 2),C1(-1,1, 2),F1(0,2,0),E(-2,0,0),A1(1,-1, 2)，
所以BD1=-3,-3, 2,EC1=1,1, 2,EF=2,2,0，
设平面C1EF的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅EF=x+y=0n⋅C2E=x+y+ 2z=0，令x=1，则n=1,-1,0．
因为BD1=-3,-3; 2；
所以n⋅BD1=0，所以n⊥BD1，
又因为BD1⊄平面C1EF，
所以BD1//平面C1EF．
(2)假设边BC上存在点Mx,2,0满足条件，x∈-2,2，
则A1M=x-1,3,- 2，
设直线A1M与平面C1EF所成角为θ，
由题意可得sinθ=csA1M,n=A1M⋅n∣A1M⋅n=x-4 2 x2-2x+12=3 2222,
化简得x2-35x+34=0，则x=1或x=34(舍去)，
即存在点M符合题意，此时BM=1．