2022-2023学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.估计 15+1的值在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
2.下列运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. 2x2−x2=1C. x2⋅x3=x6D. x6÷x3=x3
3.关于函数y=−2x，下列结论不正确的为( )
A. 图象必过(−2,1)B. y随x增大而增大
C. 图象过二、四象限D. 当x>1时，−24.已知xy=23(x,y均为正数)，下列各式不正确的为( )
A. yx=32B. x2=y3C. x+1y+1=23D. x+2y+3=23
5.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，且BE：EC=1：2，则BF：FD=( )
A. 1：3B. 1：2C. 2：3D. 3：4
6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k−1=0一个实根为1，则另一个实根为( )
A. 2B. 3C. −2D. −3
7.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则CF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为( )
A. 6
B. 7
C. 7.5
D. 8
9.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 1
10.如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC=∠DEF=90°，AB=4cm，BC与EF在直线l上，开始时C点与E点重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到B点与F点重合为止.设△ABC与△DEF的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为ycm2，CE的长度为xcm，则y与x之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知线段AB=4cm，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA= ______ ．
13.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为______ ．
三、解答题：本题共10小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
如图1，E是等边△ABC的边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF.已知△ECF的面积(S)与BE的长(x)之间的函数关系如图2所示(P为抛物线的顶点)．
(1)当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为多少?
(2)求等边△ABC的边长 ．
15.(本小题8分)
计算(−1)2022−2−1+|sin30°−1|．
16.(本小题8分)
若a2=b3=c4且2a+b+4c=46，求a、b、c．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(a2a−1+11−a)⋅1a，其中a=−1．
18.(本小题10分)
已知抛物线顶点坐标为(−2,−1)，且过(1,8)点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移______ 个单位，则它过原点．
19.(本小题10分)
在西安市开展“美丽城市，创卫同行”活动中，我校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制不完整的统计图表，如图所示：
(1)统计表中的m= ______ ，x= ______ ，y= ______ ．
(2)被调查同学劳动时间的中位数是______ ；
(3)请将频数分布直方图补充完整．
20.(本小题10分)
某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走8米到C处再测得B点的仰角为60°，已知O、A、C在同一条直线上．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求新教学楼OB的高度.(结果保留根号)．
21.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB延长线于E，且∠EDB=∠C．
(1)求证：△ADE∽△DBE．
(2)若DE=9，AE=12，求AB．
22.(本小题12分)
某科技公司研制出一种新型产品，每件成本为2400元，销售单价为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；
(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵3< 15<4，
∴4< 15+1<5，
故选：C．
直接利用估算无理数的方法得出 15的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 15的取值范围是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2与x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；
B、2x2−x2=x2，原式计算错误，故本选项正确；
C、x2⋅x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；
D、x6÷x3=x3，原式计算正确，故本选项正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
3.【答案】B
【解析】解：A、当x=−2时，代入反比例函数解析式可得y=1，图象必经过点(−2,1)，原说法正确，不合题意；
B、k=−2<0，每个象限内，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意；
C、k=−2<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，原说法正确，不合题意；
D、当x=1时，y=−2，且在第四象限内y随x的增大而增大，当x>1时，则−2故选：B．
根据反比例函数的性质：当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：(1)反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线；(2)当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；(3)当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵xy=23，
∴yx=32，故正确，不符合题意；
B、∵xy=23，
∴x2=y3，故正确，不符合题意；
C、分子分母都加同一个数，分式的值发生变化，故错误，符合题意；
D、∵xy=23，
∴3x=2y，
∴3x+6=2y+6，
∴x+2y+3=23，故正确，不符合题意；
故选：C．
根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵BE：EC=1：2，
∴BE：BC=1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△EFB∽△AFD，且BE：AD=1：3，
∴BF：FD=BE：AD=1：3．
故选：A．
由四边形ABCD是平行四边形，易证得△EFB∽△AFD，AD=BC，又由BE：EC=1：2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵a=2，b=4，
∴方程的两根之和=−ba=−42=−2，
∴方程的另一根=−2−1=−3．
故选：D．
根据两根之和等于−ba，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca”是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8−3=5，
在Rt△CEF中，CF= CE2−EF2= 52−32=4，
故选：B．
先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长即可．
本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC−BD=9−3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则ABBD=DCCE，
即93=6CE，
解得：CE=2，
故AE=AC−CE=9−2=7．
故选：B．
先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB= 2AC=6 2，
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD= 2x，
在Rt△BED中，tan∠DBE=DEBE=15，
∴BE=5x，
∴x+5x=6 2，解得x= 2，
∴AD= 2× 2=2．
故选：A．
作DE⊥AB于E，先根据等腰直角三角形的性质得到AB= 2AC=6 2，∠A=45°，设AE=x，则DE=x，AD= 2x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB可计算出x= 2，再利用AD= 2x进行计算．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，
∴△ABC与△DEF的重叠部分也是等腰直角三角形，
当△ABC沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即0≤x≤4时，
△ABC与△DEF的重叠部分的面积y=12x2，
当4≤x≤8时，△ABC与△DEF的重叠部分的面积y=12(x−8)2，
则y与x之间的函数图象大致是C．
故选：C．
根据△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，得出△ABC与△DEF的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当△ABC沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即0≤x≤4时，△ABC与△DEF的重叠部分的面积y=12x2，即可得出答案．
此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出y与x之间的函数关系式，要注意x的取值范围．
11.【答案】(2 5−2)cm
【解析】解：由于C为线段AB=4cm的黄金分割点，
且AC>BC，
则AC= 5−12AB= 5−12×4=(2 5−2)cm．
故答案为：(2 5−2)cm．
根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，所以AC= 5−12AB，代入数据即可得出AC的长度．
此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
12.【答案】45
【解析】解：AB= BC2+AC2= 42+32=5，
sinA=BCAB=45，
故答案为：45．
由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出sinA的值即可．
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提，求出斜边是关键．
13.【答案】y=23x
【解析】解：如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，
∵ABCD为矩形
∴∠C=90°
∵OF⊥BC，OE⊥CD
∴∠EOF=90°
∴∠EON+∠FON=90°
∵ON⊥OM
∴∠EON=∠FOM
∴△OEN∽△OFM
OEOF=ONOM
∵O为中心
∴OFOE=ABAD=64=32
∴OMON=32
即y=23x，
故答案为：y=23x，
求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．
此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．
14.【答案】解：(1)过F作FD⊥BC于D，如图：
∵等边△ABC，等边△AEF，
∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EAF=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，∠ABE=∠ACF=60°，
而BE=x，
∴CF=x，∠FCD=180°∠ACB−∠ACF=60°，
∴FD=CF⋅sin60°= 32x，
设等边△ABC边长是a，则CE=BC−BE=a−x，
∴S=12CE⋅FD=12(a−x)⋅ 32x=− 34x2+ 34ax，
当x=− 34a2×(− 34)=12a时，S有最大值为0−( 34a)24×(− 34)= 316a2，
故△ECF的面积最大时，BE=12a，即E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠AEB=90∘，
∵∠AEF=60∘，
∴∠FEC=180∘−∠AEB−∠AEF=30∘;
(2)当x=12a时，S有最大值为 316a2，
由图可知S最大值是2 3，
∴ 316a2=2 3，解得a=4 2或a=−4 2(边长a>0，舍去)，
∴等边△ABC的边长为a=4 2，
故答案为：4 2．
【解析】(1)由△ABE≌△ACF得BE=CF，用x的代数式表示S，得到E为BC中点时S最大，从而可求∠FEC度数；
(2)根据△ECF的最大面积是2 3列方程即可得答案．
本题考查等边三角形的性质及二次函数的综合知识、全等三角形的判定与性质等，解题关键是证明由△ABE≌△ACF，用x的代数式表示△ECF的面积．
15.【答案】解：原式=1−12+|12−1|=12+12=1．
【解析】本题涉及乘方、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果．
本题考查了乘方、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
16.【答案】解：设a2=b3=c4=k，
∴a=2k，b=3k，c=4k，
代入2a+b+4c=46得：4k+3k+16k=46，
解得：k=2，
∴a=4，b=6，c=8．
【解析】设a2=b3=c4=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入2a+b+4c=46，求出k值，进而求得a、b、c即可．
本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．
17.【答案】解：原式=a2−1a−1⋅1a
=(a−1)(a+1)a−1⋅1a
=a+1a
=1+1a，
∵a=−1，
∴原式=1−1=0．
【解析】先计算括号内的同分母的减法，再将分子因式分解，约分即可化简，最后代入a的值，计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质与通分、约分及分式的混合运算顺序是解题的关键．
18.【答案】1或3
【解析】解；(1)∵抛物线顶点坐标为(−2,−1)，
∴可设该抛物线解析式为y=a(x+2)2−1．
∵抛物线过点(1,8)，
∴8=a(1+2)2−1，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+2)2−1=x2+4x+3；
(2)对于y=x2+4x+3，
令y=0，则x2+4x+3=0，
∴(x+1)(x+3)=0，
解得：x1=−1，x2=−3，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别为(−1,0)，(−3,0)，
∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．
故答案为：1或3．
(1)根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为y=a(x+2)2−1，再将点(1,8)代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
(2)根据(1)所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．
本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．
19.【答案】100 40 0.18 1.5
【解析】解：(1)设总人数为m人．
由题意0.3×m=30，解得m=100，
∴x=100×0.4=40人．
y=18100=0.18．
故答案为100，40，0.18．
(2)观察图象可知：被调查同学劳动时间的中位数=1.5．
故答案为1.5
(3)频数分布直方图如图所示，
(1)根据频率=频数总人数，分别计算即可解决问题．
(2)根据中位数的定义，观察图象即可解决问题；
(3)根据x=40，画出条形图即可解决问题；
本题考查频数分布直方图，频数分布表、中位数等知识，解题的关键是熟练掌握频率、频数、总人数之间的关系，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)∵∠BCO是△ABC的外角，
∴∠ABC=∠BCO−∠A=60°−45°=15°；
(2)在Rt△AOB中，∠A=45°，
则OA=OB，
∵AC=8米，
∴OC=(OB−8)米，
在Rt△COB中，∠BCO=60°，
∵tan∠BCO=OBOC，
∴OBOB−8= 3，
解得：OB=4 3+12，
答：新教学楼OB的高度约为4 3+12米．
【解析】(1)根据三角形的外角性质计算，得到答案；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到OA=OB，根据正切的定义列出方程，解方程求出OB．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE；
(2)解：平行四边形ABCD中，DC=AB，
由(1)得△ADE∽△DBE，
∴DEAE=BEDE，
∴BE=DE2AE=8112=274，
∴AB=AE−BE=12−274=214．
【解析】(1)由平行四边形的对角相等，可得∠A=∠C，即可求得∠A=∠EDB，又由公共角∠E=∠E，可证得△ADE∽△DBE；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，易得DEAE=BEDE，即可求得DC的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
22.【答案】解：(1)设件数为x，依题意，得3000−10(x−10)=2600，
解得x=50，
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
(2)当0≤x≤10时，y=(3000−2400)x=600x，
当10当x>50时，y=(2600−2400)x=200x，
∴y=60x(0≤x≤10)−10x2+700x(10≤x≤50)200x(x>)．
【解析】(1)设件数为x，则销售单价为3000−10(x−10)元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；
(2)由利润y=(销售单价−成本单价)×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，1050三种情形列出函数关系式．
本题考查了二次函数的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵OA=1，OC=4，AC=BC，
∴BC=5，
∴A(−1,0)，B(4,5)，
抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，
∴1−b+c=016+4b+c=5，解得：b=−2c=−3，
∴y=x2−2x−3；
(2)设直线AB解析式为：y=kx+b，
直线经过点A，B两点，
∴−k+b=04k+b=5，解得：k=1b=1，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
设点E的坐标为(m,m+1)，则点F(m,m2−2m−3)，
∴EF=m+1−m2+2m+3=−m2+3m+4=−(m−32)2+254，
∴当EF最大时，m=32，
∴点E(32,52)，F(32,−154)；
(3)存在．
①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为52，
即x2−2x−3=52，解得：x1=2+ 262，x2=2− 262，
∴点P1(2+ 262,52)，P2(2− 262,52)，
②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为−154，
即x2−2x−3=−154，解得：x1=12，x2=32(舍去)，
∴点P3(12,−154)，
综上所述，P1(2+ 262,52)，P2(2− 262,52)，P3(12,−154).
【解析】(1)根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；
(3)分两种情况：∠E−90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．
本题主要考查二次函数的综合题，其中第(3)小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．劳动时间(时)
频数(人数)
频率
0.5
12
0.12
1
30
0.3
1.5
x
0.4
2
18
y
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