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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第47讲 随机抽样与用样本估计总体（讲+练）原卷版+解析
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1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
3．2020年全球“新冠”疫情暴发，严重影响了人们的常态生活．某市据统计得到5月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与4月份相比)变动情况如图：
则下列叙述不正确的是( )
A．八大消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品服务价格环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．5月份居民消费平均价格环比持平
4．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝( )
A．96 B．72
C．48 D．36
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩．经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1 000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为( )
A．400 B．500
C．600 D．800
8．某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．
9．高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60,55,60,55,65,50,50(单位：千克)，其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为________．
10．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为________．
【练提升】
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( )
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
2．一个总体中有600个个体，随机编号为001,002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为( )
A．056,080,104 B．054,078,102
C．054,079,104 D．056,081,106
3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
5．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率．则上述判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是( )
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________.
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
第47讲 随机抽样与用样本估计总体
【练基础】
1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
【答案】C
【解析】根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14).
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B 【解析】统计问题中，衡量数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B.
3．2020年全球“新冠”疫情暴发，严重影响了人们的常态生活．某市据统计得到5月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与4月份相比)变动情况如图：
则下列叙述不正确的是( )
A．八大消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品服务价格环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．5月份居民消费平均价格环比持平
【答案】D
【解析】对于A选项，由图可知，饮食烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，生活用品及服务、教育文化娱乐、医疗保健、其他用品服务价格环比上涨，所以A选项叙述正确．对于B选项，由图可知，八大消费价格中，其他用品服务价格环比涨幅最大，所以B选项叙述正确．对于C选项，由图可知，生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同，所以C选项叙述正确．对于D选项，由于八大消费价格环比呈现四涨四平，所以5月份居民消费平均价格环比上涨，所以D选项叙述不正确．故选D.
4．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝( )
A．96 B．72
C．48 D．36
【答案】B
【解析】由题意得eq \f(3,9)n－eq \f(2,9)n＝8，所以n＝72.故选B.
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【解析】甲的平均数是eq \f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位数是6，极差是4，方差是eq \f(－22＋－12＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均数是eq \f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位数是5，极差是4，方差是eq \f(－12＋－12＋－12＋02＋32,5)＝eq \f(12,5)，比较可得选项C正确．
6．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩．经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
【答案】B
【解析】学业水平考试加分22分前后相比，平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22，而全班的成绩波动性未发生变化，即方差不变．
7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1 000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为( )
A．400 B．500
C．600 D．800
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图计算得50分以上的频率为1－(0.005×20＋0.012 5×20＋0.015×10)＝0.50，所以本市标准分不低于50分的企业数为500.
8．某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．
【解析】设样本中女生有x人，则男生有x＋10人，所以x＋x＋10＝200，得x＝95，设该校高三年级的女生有y人，则由分层抽样的定义可知eq \f(y,1 600)＝eq \f(95,200)，解得y＝760.
【答案】760
9．高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60,55,60,55,65,50,50(单位：千克)，其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为________．
【解析】将七个人的体重按顺序排列如下：50,50,55,55,60,60,65，若此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55，只需未测体重的同学体重要小于等于55，
又该同学的体重在50～60千克之间，
所以此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
【答案】eq \f(1,2)
10．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为________．
【解析】由题知[5.43,5.45)与[5.45,5.47]所对应的小矩形的高分别为6.25,5.00，所以[5.43,5.47]的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43，5.47]内的个数为80×0.225＝18.
【答案】18
【练提升】
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( )
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
【答案】B 【解析】∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，①用分层抽样法；而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法．
2．一个总体中有600个个体，随机编号为001,002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为( )
A．056,080,104 B．054,078,102
C．054,079,104 D．056,081,106
【答案】D 【解析】因为系统抽样的间隔为eq \f(600,24)＝25，
所以编号为051～125之间抽得的编号为
006＋2×25＝056,006＋3×25＝081,006＋4×25＝106.
3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
【答案】D 【解析】由图可知，二等品的概率为1－(0.02＋0.06＋0.03)×5＝0.45.所以从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45.
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
【答案】C 【解析】设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq \f(70,100)＝0.7.
5．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率．则上述判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B 【解析】7天假期的楼房认购量按由小到大顺序为：91,100,105,107,112,223,276；
成交量按由小到大顺序为：8,13,16,26,32,38,166.
对于①，日成交量的中位数是26，故错误；
对于②，日平均成交量为：eq \f(8＋13＋16＋26＋32＋38＋166,7)≈42.7，有1天日成交量超过日平均成交量，故错误；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错误；
对于④，10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率，故正确．
6.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是( )
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【答案】B
【解析】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月对应的里程数，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；由图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________.
【解析】由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.
【答案】200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
【解析】设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n＝eq \f(5＋15＋25,0.75)＝60.
【答案】60
9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
【解析】(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，
a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.
(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．
∴P＝eq \f(162,200)＝eq \f(81,100)＝0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为
eq \x\t(x)＝eq \f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，
∴这次数学测验的年级平均分大约为73分．
10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
【解析】(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：
eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，
乙厂10个轮胎宽度的平均值：
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．
(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，
平均数：eq \x\t(x)1＝eq \f(1,6)×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，
方差：seq \\al(2,1)＝eq \f(1,6)×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝eq \f(2,3)，
乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，
平均数：eq \x\t(x)2＝eq \f(1,6)×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，
方差：seq \\al(2,2)＝eq \f(1,6)×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝eq \f(1,3)，
∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
∴乙厂的轮胎相对更好．
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
3．2020年全球“新冠”疫情暴发，严重影响了人们的常态生活．某市据统计得到5月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与4月份相比)变动情况如图：
则下列叙述不正确的是( )
A．八大消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品服务价格环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．5月份居民消费平均价格环比持平
4．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝( )
A．96 B．72
C．48 D．36
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩．经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1 000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为( )
A．400 B．500
C．600 D．800
8．某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．
9．高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60,55,60,55,65,50,50(单位：千克)，其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为________．
10．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为________．
【练提升】
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( )
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
2．一个总体中有600个个体，随机编号为001,002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为( )
A．056,080,104 B．054,078,102
C．054,079,104 D．056,081,106
3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
5．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率．则上述判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是( )
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________.
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
第47讲 随机抽样与用样本估计总体
【练基础】
1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
【答案】C
【解析】根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14).
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B 【解析】统计问题中，衡量数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B.
3．2020年全球“新冠”疫情暴发，严重影响了人们的常态生活．某市据统计得到5月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与4月份相比)变动情况如图：
则下列叙述不正确的是( )
A．八大消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品服务价格环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．5月份居民消费平均价格环比持平
【答案】D
【解析】对于A选项，由图可知，饮食烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，生活用品及服务、教育文化娱乐、医疗保健、其他用品服务价格环比上涨，所以A选项叙述正确．对于B选项，由图可知，八大消费价格中，其他用品服务价格环比涨幅最大，所以B选项叙述正确．对于C选项，由图可知，生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同，所以C选项叙述正确．对于D选项，由于八大消费价格环比呈现四涨四平，所以5月份居民消费平均价格环比上涨，所以D选项叙述不正确．故选D.
4．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝( )
A．96 B．72
C．48 D．36
【答案】B
【解析】由题意得eq \f(3,9)n－eq \f(2,9)n＝8，所以n＝72.故选B.
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【解析】甲的平均数是eq \f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位数是6，极差是4，方差是eq \f(－22＋－12＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均数是eq \f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位数是5，极差是4，方差是eq \f(－12＋－12＋－12＋02＋32,5)＝eq \f(12,5)，比较可得选项C正确．
6．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩．经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
【答案】B
【解析】学业水平考试加分22分前后相比，平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22，而全班的成绩波动性未发生变化，即方差不变．
7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1 000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为( )
A．400 B．500
C．600 D．800
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图计算得50分以上的频率为1－(0.005×20＋0.012 5×20＋0.015×10)＝0.50，所以本市标准分不低于50分的企业数为500.
8．某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．
【解析】设样本中女生有x人，则男生有x＋10人，所以x＋x＋10＝200，得x＝95，设该校高三年级的女生有y人，则由分层抽样的定义可知eq \f(y,1 600)＝eq \f(95,200)，解得y＝760.
【答案】760
9．高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60,55,60,55,65,50,50(单位：千克)，其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为________．
【解析】将七个人的体重按顺序排列如下：50,50,55,55,60,60,65，若此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55，只需未测体重的同学体重要小于等于55，
又该同学的体重在50～60千克之间，
所以此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
【答案】eq \f(1,2)
10．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为________．
【解析】由题知[5.43,5.45)与[5.45,5.47]所对应的小矩形的高分别为6.25,5.00，所以[5.43,5.47]的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43，5.47]内的个数为80×0.225＝18.
【答案】18
【练提升】
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( )
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
【答案】B 【解析】∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，①用分层抽样法；而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法．
2．一个总体中有600个个体，随机编号为001,002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为( )
A．056,080,104 B．054,078,102
C．054,079,104 D．056,081,106
【答案】D 【解析】因为系统抽样的间隔为eq \f(600,24)＝25，
所以编号为051～125之间抽得的编号为
006＋2×25＝056,006＋3×25＝081,006＋4×25＝106.
3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
【答案】D 【解析】由图可知，二等品的概率为1－(0.02＋0.06＋0.03)×5＝0.45.所以从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45.
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
【答案】C 【解析】设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq \f(70,100)＝0.7.
5．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率．则上述判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B 【解析】7天假期的楼房认购量按由小到大顺序为：91,100,105,107,112,223,276；
成交量按由小到大顺序为：8,13,16,26,32,38,166.
对于①，日成交量的中位数是26，故错误；
对于②，日平均成交量为：eq \f(8＋13＋16＋26＋32＋38＋166,7)≈42.7，有1天日成交量超过日平均成交量，故错误；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错误；
对于④，10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率，故正确．
6.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是( )
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【答案】B
【解析】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月对应的里程数，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；由图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________.
【解析】由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.
【答案】200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
【解析】设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n＝eq \f(5＋15＋25,0.75)＝60.
【答案】60
9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
【解析】(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，
a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.
(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．
∴P＝eq \f(162,200)＝eq \f(81,100)＝0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为
eq \x\t(x)＝eq \f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，
∴这次数学测验的年级平均分大约为73分．
10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
【解析】(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：
eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，
乙厂10个轮胎宽度的平均值：
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．
(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，
平均数：eq \x\t(x)1＝eq \f(1,6)×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，
方差：seq \\al(2,1)＝eq \f(1,6)×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝eq \f(2,3)，
乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，
平均数：eq \x\t(x)2＝eq \f(1,6)×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，
方差：seq \\al(2,2)＝eq \f(1,6)×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝eq \f(1,3)，
∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
∴乙厂的轮胎相对更好．
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
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