第48讲 用样本估计总体（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、样本的数字特征
1.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．
2.标准差和方差
（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
（2）方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（3）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
二、频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
三、百分位数
1.定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．
2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据．
（2）计算．
（3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
3.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
【常用结论】
均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
二、题型分类精讲
题型一 样本数字特征的计算及其应用
策略方法 利用样本的数字特征解决决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－nx2]，或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－x2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
【典例1】某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】(1)极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；
(2)；，；
(3)推广品种水稻更合适．
【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，
（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，
（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.
【详解】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【题型训练】
一、单选题
1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义判断
【详解】根据平均数、中位数、众数和方差的意义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，
所以不变的数字特征为中位数，
故选：C
2．每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A．3，3B．2，2C．2，3D．3，2
【答案】D
【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案．
【详解】这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
这组数据的众数是3；
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
这组数据的中位数为2；
故选：D.
3．有一组样本数据，则（ ）
A．这组样本数据的极差不小于4B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3D．这组样本数据的众数等于3
【答案】A
【分析】根据极差、平均数、中位数和众数的概念判断即可.
【详解】样本数据中，
对于A，显然这组样本数据的极差大于等于，故A正确；
对于B，若，则平均数为，故B错误；
对于C，若，则中位数为，故C错误；
对于D，若，则众数为，故D错误.
故选：A
4．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（ ）

A．众数为30B．中位数为31.5C．平均数小于中位数D．极差为109
【答案】C
【分析】根据折线图，由众数，中位数，平均数，极差等概念及公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；
将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；
处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B正确；
由折线图可得，平均数为：，故C错；
根据极差概念，故D正确.
故选：C.
5．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（ ）
A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差
B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122
D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，结合极差、平均数的计算公式，众数与中位的概念，以及数据的波动性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于选项A，甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，所以甲同学成绩的极差高于乙同学成绩的极差，所以A错误；
对于选项B，甲同学的平均成绩为，
乙同学的平均成绩为，
所以甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，所以B错误；
对于选项C，甲同学成绩的众数为，乙同学成绩的中位数为，所以C正确；
对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以D错误．
故选：C．
6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，方差为2.4B．中位数为3，方差为1.6
C．中位数为3，众数为2D．平均数为3，中位数为2
【答案】A
【分析】A选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误；BCD选项，通过举反例可判断选项正误.
【详解】A选项，若5次结果中有6，因平均数为2，
则方差，因，
则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A正确；
B选项，取5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，
则方差，故B错误；
C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；
D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误.
故选：A
7．“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ）

A．甲的众数小于乙的众数B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差D．乙的平均数大于甲的平均数
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及方差和平均数公式，即可求解．
【详解】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为，
乙的平均数为，故D错误，
甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确；
甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
故甲的方差大于乙的方差，故C正确．
故选：D．
8．新能源汽车近年在我国发展迅猛，无论是外观还是性能都有了较大进步，下表显示的是两款新能源汽车连续五次的实际续航里程（二者测量条件相同），则下列结论错误的是（ ）
A．A款车型续航里程的众数为350
B．款车型续航里程的极差为70
C．两款车型续航里程的平均数相等
D．A款车型比款车型续航里程的方差较大
【答案】D
【分析】根据题意结合统计的相关知识逐项分析判断.
【详解】将两组数据按升序排列可得：，，
可得A款车型续航里程的众数为350，故A正确；
款车型续航里程的极差为，故B正确；
A款车型续航里程的平均数为，
B款车型续航里程的平均数为，
所以两款车型续航里程的平均数相等，故C正确；
A款车型续航里程的方差为，
B款车型续航里程的方差为，
所以，即A款车型比款车型续航里程的方差较小，故D错误；
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据，，，，，的中位数为，众数为和
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
【答案】AC
【分析】根据抽样调查的特点判断A，将数据从小到大排列求出中位数与众数，即可判断B，根据方差、标准差的定义判断C，根据方差的性质判断D.
【详解】对于A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；
对于B：数据从小到大排列为、、、、、，所以中位数为，众数为和，故B错误；
对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；
对于D：数据的方差为，则数据的方差为，故D错误；
故选：AC
10．据中国汽车工业协会统计分析，2022年10月份，我国国产品牌乘用车销售了118.7万辆，市场占有率延续良好势头，份额超过50%.下图是2021年1月份至2022年10月份这22个月我国国产品牌乘用车月度销量及增速变化情况的统计图，则（同比：和去年同期相比）（ ）

A．2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆
B．2022年前10个月国产品牌乘用车月度销量的同比增长率均为正数
C．2022年前9个月国产品牌乘用车月度销量的中位数为5月份的销量数据
D．2022年前10个月我国国产品牌乘用车月度销量的极差超过58.7万辆
【答案】AD
【分析】根据平均数的概念判断A，根据图中数据判断B，根据中位数的概念判断C，根据图中数据及极差的概念判断D.
【详解】由条形统计图可知，在2021年的月度销量数据中，只有2月份的销量低于60万辆，
且有多个月的销量达到80万辆以上，故2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆，A正确；
由折线统计图可知，2022年4月份的同比增长率为负数，B错误；
将2022年前9个月的销量数据由小到大排列，可知5月份的销量排在第3位，故该数据不可能为中位数，C错误；
2022年前10个月销量最大的月份为10月份，销量为118.7万辆，销量最小的月份为4月份，且销量数据低于60万辆，故极差超过万辆，D正确.
故选：AD.
11．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200
【答案】ABD
【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项；
把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第二个数为所求，即可判断选项.
【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：
11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；
由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，
故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，正确；
这一星期内甲的日步数的平均数为：，
这一星期内乙的日步数的平均数为：
，
因为，故正确；
由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故错误；
乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，
，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故正确；
故选：
12．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4B．中位数可能是2
C．极差可能是4D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为，
对于A：若取到数字4，不妨设为，
则，可得，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为，
则这5个数字的平均数，
则，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
三、填空题
13．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是 .（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】10（或4或18）
【分析】设丢失的数据为x，众数是3，然后分x≤3，3【详解】3+3+5+3+6+11=31.设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3.
∵这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，
∴若x≤3，则中位数为3，此时，解得x=10；
若3若x≥5，则中位数为5，此时，解得x=18.
故答案为：10（或4或18）
14．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是
【答案】8.4
【分析】利用中位数的求法，依次排序计算即可.
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为，8.1，8.3，8.5，8.8，9，，则这组数据的中位数是．
故答案为：8.4
15．国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为 ；
【答案】946
【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可.
【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为.
因为中位数与平均数相等，所以,
所以2020年GDP总额：.
故答案为：946.
16．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：
①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；
②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；
③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；
④德国发表论文数量约占美国的32%．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②
【分析】根据已知数据，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知，论文数的平均数为，故①正确；
这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4，故②正确；
这十个国家的论文发表数量的众数为0.3，故③错误；
德国发表论文数量约占美国的，故④错误.
故说法正确的是：①②
故答案为：①②
17．如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是 .
①若甲､乙射击成绩的平均数分别为，则
②若甲､乙射击成绩的方差分别为，则
③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
④乙比甲的射击成绩稳定
【答案】③④
【分析】从图中得到甲、乙的射击成绩进而求出其平均数、中位数，可以判断①错误，③正确；
甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，可以判断②错误、④正确.
【详解】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.
甲､乙射击成绩的平均数分别，
则，
，
所以，所以①错误；
从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，
即，所以②错误；
甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；
因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.
故答案为：③④
题型二 频率分布直方图及其应用
策略方法 频率、频数、样本容量的计算方法
(1)eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
(2)eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
【典例1】（单选题）南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据图中信息，下列说法错误的是（ ）

A．图中的值为0.020
B．得分在70分及以上的人数为75
C．这组数据的平均数的估计值为76（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
D．这组数据的中位数的估计值为78
【答案】D
【分析】对于A：由频率分布直方图中面积和为1即可验证；对于B：用相应频率之和乘以总人数即可验证；对于C：由加权平均数的公式即可求解；对于D：由于中位数是使得左右两边面积均为0.5的分数值，由此即可验证.
【详解】对于A选项：由频率分布直方图可得，解得，所以A选项正确，故不选A；
对于B选项，由频率分布直方图可知，得分在70分以上的人数为，所以B选项正确，故不选B；；
对于C选项，由频率分布直方图可知，这组数据平均数的估计值为，所以C选项正确，故不选C；；
对于D选项，由频率分布直方图可知，的频率为，的频率为，则中位数在内，所以这组数据中位数的估计值为，所以D选项错误，故选D.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）

A．60B．80C．100D．120
【答案】C
【分析】根据频率之和为计算值，根据成绩落在的人数为10，成绩落在频率为列方程求
【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得.
故选：C
2．某机构对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在内，其频率分布直方图如图所示，则这名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）

A．（万元）B．（万元）
C．（万元）D．（万元）
【答案】B
【分析】根据分布列的性质求出，再由各组频率乘以各组区间的中点值后相加可求出平均数.
【详解】由，得，
这名购物者消费金额的平均数约为（万元）.
故选：B
3．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（ ）．

A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】先由频率之和为解得值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得.
【详解】由题得，所以．
在之间的学生：人，
在之间的学生：人，
在之间的学生：人，
又用分层抽样的方法在之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：，
所以成绩在之间的学生中抽取的人数应为，即.
故选：D．
4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ）
A．27B．48C．54D．64
【答案】C
【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值.
【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为，
后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为，
故第三组的频数为，因此.
故选：C.
5．2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是（ ）

A．这200名学生成绩的众数为370分
B．这200名学生成绩的平均分为377分
C．这200名学生成绩的70%分位数为386分
D．这200名学生成绩在中的学生有30人
【答案】C
【分析】利用众数、平均数、p%分位数的定义即可判断ABC选项，利用频数=频率×样本容量即可判断选项D.
【详解】显然众数是370，故A正确；
平均分为，故B正确；
设70%分位数为，则，得，故C错误；
，故D正确.
故选：C
6．工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（ ）

①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；
②车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率的计算，以及平均数、方差和中位数的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，根据频率分布直方图，可得该车间工人上月产量的极差大约为50件，所以①不正确；
②中，根据频率分布直方图，可得低于65件的频率为，
所以月产量低于65件的人数为，所以②正确；
③中，根据频率分布直方图，可得平均数为：
，所以③不正确；
④中，根据频率分布直方图，设中位数为，可得，所以④正确.
故选：D.
7．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）

A．图中
B．这100名学生中成绩在内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】D
【分析】根据频率直方图所有小矩形面积之和为1，结合平均数、中位数的性质用逐一判断即可.
【详解】由频率分布直方图，，得，A错误；
这100名学生中成绩在内的频率为，
所以人数为52，B错误；
根据此频率分布直方图，可得这100名学生成绩的中位数在之间，C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，D正确．
故选：D．
8．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是（ ）

A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B．图中x的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占
【答案】B
【分析】根据直方图的定义结合中位数估计值求解即可.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
设中位数为，前3个矩形面积之和为0.3，前四个矩形面积之和为0.6，
则，得，故C正确；
80分及以上分数的频率为，占总人数比例为，故D正确;
故选：B.
二、多选题
9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（ ）

A．
B．
C．估计该样本数据的平均数为74
D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人
【答案】ABC
【分析】A.由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1求解判断；B.利用频率公式求解判断；C.利用平均数公式求解判断；D.利用比例关系求解判断.
【详解】解：由，得，故A正确；
因为样本中的人数为20人，所以，得，故B正确；
平均数为：，故C正确；
因为全校社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9，所以全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为，故D错误；
故选：ABC
10．从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）

A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
【答案】AB
【分析】根据频率分布直方图中所有频率和为1计算出，然后确定均值、中位数、众数：直方图中最高的小长方形中点的横坐标，中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值，即中位数两边的小长方形面积和都是0.5，平均数为每个小长方形面积与小长方形中点横坐标乘积之和．
【详解】由题意，，A正确；
均值为，B正确；
设中位数是，由直方图可知其在第3三组，则，，C错；
众数是115，D错；
故选：AB．
11．在一次考试中，某地抽取一组样本，将学生的考分按，，…，分成10组，得到如下频率分布直方图:

根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．规定分数不低于60分为及格，则及格率为0.6
B．样本的中位数为60
C．以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次考试的平均分为60分
D．规定此次考试80%的考生定为合格等级，则合格等级的学生最低分为40分
【答案】AD
【分析】计算分数在的频率，得及格率判断选项A；由频率分布直方图，结合中位数和平均数的公式，计算中位数和平均数判断选项BC；由分数在的频率为0.2，得合格等级的学生最低分判断选项D.
【详解】分数在的频率为：，A正确；
分数在的频率为0.4，分数在的频率为0.56，由，得样本的中位数为66.25，B错误；
，
，而.
所以估计该地此次考试的平均分为61.8分，C错误；
分数在的频率为0.2，所以合格等级的学生最低为40分，D正确.
故选：AD.
三、填空题
12．某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人．
【答案】
【分析】将体重（单位：）在区间上的男生所占的频率乘以可得结果.
【详解】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为
.
故答案为：.
13．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 .
【答案】0.14
【分析】根据频率分布直方图求出，据此可求解.
【详解】由题知：
故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.
故答案为：0.14
14．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则 ．
【答案】
【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解.
【详解】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2；
由频率分布直方图可得：每组的频率依次为，
设样本容量为，
则，解得，
故.
故答案为：.
15．设某组数据均落在区间内，共分为，，，，五组，对应频率分别为p1，p2，p3，p4，p5．已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，且，则该组数据的平均数为 ．
【答案】35
【分析】先由题意得到及解出套公式求出平均数.
【详解】由于频率分布直方图为轴对称图形，则
又因为则
且有解得
则平均数=
故答案为：35
题型三 百分位数
策略方法 百分位数有关问题的一般思路
计算一组个数据的的第百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
【典例1】（单选题）某校高一年级个班参加朗诵比赛的得分如下：，，，，，，，，，，，，，，，则这组数据的分位数、分位数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】将数据从小到大排列，计算和，根据结果是否是整数确定．
【详解】解：将数据从小到大排列可得，，，，，，，，，，，，，， ，
由，则分位数为，由，则分位数为，
故选：D．
【题型训练】
一、单选题
1．树人中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（ ）
A．89B．90C．92D．94
【答案】D
【分析】利用百分位数的计算方法进行计算即可.
【详解】因为，所以从小到大选取第8个数作为这9人成绩的第80百分位数，即94.
故选：D.
2．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ）
A．4B．4.5C．5D．9
【答案】C
【分析】计算出极差，进而得到该组数据的中位数，得到，求出，进而利用百分位数的定义求出答案.
【详解】极差为，故该组数据的中位数是，
数据共6个，故中位数为，解得，
，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，
故该组数据的40百分位数是.
故选：C
3．一组数据按从小到大的顺序排列如下：，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则（ ）
A．33B．34C．35D．36
【答案】D
【分析】利用中位数和百分位数的定义得到，，求出答案.
【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即，
，故选取第7个数为分位数，故，
所以.
故选：D
4．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（ ）
A．50B．60C．70D．80
【答案】C
【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．
【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则，
为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，
为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．
故选：C．
5．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40，第二组[40,50，第三组[50,60，第四组[60,70，第五组[70,80，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（ ）

A．[50,60B．[60,70
C．[70,80D．[80,90]
【答案】B
【分析】由频率和为1求参数a，再根据百分位数的定义确定第70百分位数所在区间.
【详解】由，则，
又，
所以第70百分位数位于的区间为[60,70.
故选：B
6．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60B．65C．70D．71
【答案】D
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
由，得第30百分位数是第2个数据，故,
由，得第50百分位数是第3与4个数据平均值，解得．
所以.
故选：D．
7．某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（ ）

A．64B．65C．66D．67
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义及频率分布直方图计算即可.
【详解】由图可知，
，即第40百分位数位于区间，
设第40百分位数为，则.
故选：C
二、多选题
8．已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（ ）
A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31
B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31
C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31
D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31
【答案】AB
【分析】由百分位数的概念可判断.
【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，
可知，选项A，B正确，C，D错误.
故选：AB.
9．某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为
B．估计这名学生考试成绩的众数为
C．估计这名学生考试成绩的中位数为
D．估计这名学生考试成绩的上四分位数约为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据频率之和为计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可．
【详解】根据频率和等于得：，
，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为，则估计众数也为，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：，，，，，
上四分位数在内，设第百分位数约为，则：，
得，故D正确．
故选：ABD
10．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（ ）

A．平均数约为38.6B．中位数约为38.75
C．第40百分位数约为35.6D．上四分位数约为42.6
【答案】ABC
【分析】利用平均数和百分位数的的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：故A正确；
对于B，，故中位数在这一组，设中位数为，
则，解得，故B正确；
对于C，，故第40百分位数在这一组，
设第40百分位数为，则，解得，故C正确；
对于D，上四分位数即第75百分位数，，故第75百分位数在这一组，
设第75百分位数为，则，解得，故D错误；
故选：ABC
三、填空题
11．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为 ．
【答案】93
【分析】由百分位数定义可得答案．
【详解】根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，
而，
则这10名党员学习成绩的分位数为第8项数据93．
故答案为：93．
12．某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的分位数是 .

【答案】8.5
【分析】先把这10名同学的得分从小到大排序，然后根据求百分位数的方法求解即可.
【详解】由题图知，这10名同学的得分为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，
因为，所以分位数为第8与第9个数据的平均数，即为.
故答案为：8.5.
13．商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．

【答案】75
【分析】利用频率分布直方图每个小矩形面积代表频率表示第60百分位数求解即可.
【详解】由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3，
则第60百分位数位于内，设60百分位数为，则有，
则，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75.
故答案为：75
14．如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为 （保留2位小数）

【答案】15.83
【分析】利用频率等于组距乘以频率/组距及百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以75%分位数为：，解得：.
故答案为：
15．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
【答案】8（答案不唯一）
【分析】设第8次射击的结果是x环，由平均数可得，再分类讨论并结合第75%分位数求出x范围作答.
【详解】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，
由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，
由，解得，无解，
所以，此人第8次射击的结果可能是8环.
故答案为：8
①样本数字特征的计算及其应用
②频率分布直方图及其应用
③百分位数
（单位：）
60
63
50
76
71
85
75
63
63
64
（单位：）
56
62
60
68
78
75
76
62
63
70
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
次数
1
2
3
4
5
6
甲同学成绩/分
135
104
108
136
136
116
乙同学成绩/分
116
124
123
120
121
132
360
350
310
350
380
320
360
330
350
390