第49讲　数据分析——一元线性回归模型及其应用高考数学一轮复习讲义练习

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1. (2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是( C )
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2. (人A选必三P103习题T1改)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是( D )

(第2题)
A. ①②③B. ②③①
C. ②①③D. ①③②
【解析】 第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，是不相关．
3. (人A选必三P138复习参考题T2)对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到经验回归模型 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，对应的残差如图所示，模型误差( C )
(第3题)
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
【解析】 由一元线性回归模型 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到经验回归模型 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，根据对应的残差图，残差的均值E(e)＝0可能成立，但明显残差的x轴上方的数据更分散，D(e)＝σ2不满足一元线性回归模型，正确的只有C.
4. (人A选必三P113练习T2)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82.已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高是_168_cm_(结果保留整数).
【解析】 当x＝175时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168.
5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：t)的几组对应数据：
如果根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程是 eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为_3_．
【解析】 由经验回归直线过点( eq \x\t(x)， eq \x\t(y))，即 eq \x\t(y)＝0.7 eq \x\t(x)＋0.35，得 eq \f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝0.7× eq \f(3＋4＋5＋6,4)＋0.35，解得t＝3.
聚焦知识
1. 变量的相关关系
(1) 相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2) 相关关系的分类：正相关和负相关．
(3) 线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在_一条直线_附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2. 样本相关系数
(1) 样本相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－\x\t(y))2))
＝ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x)\x\t(y),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x eq \\al(2,i)－n\x\t(x)2)·\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))y eq \\al(2,i)－n\x\t(y)2)).
(2) 样本相关系数r的性质
当r_＞_0时，称成对样本数据_正_相关；当r_＜_0时，称成对样本数据_负_相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．
3. 一元线性回归模型
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，e是_Y与bx＋a之间_的随机误差．
我们将 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 eq \(b,\s\up6(^))， eq \(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up6(^))＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))2), ＝_\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x eq \\al(2,i)－n\x\t(x)2)_，,\(a,\s\up6(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(^))\x\t(x)．))
4. 残差与决定系数
(1) 残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 eq \(y,\s\up6(^))称为预测值，_观测值减去预测值所得的差_称为残差．
(2) 决定系数：R2＝_1－ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－\(y,\s\up6(^))i)2,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－\x\t(y))2)_，R2越_大_，模型拟合效果越好，反之，越差．
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5