精品解析：安徽省宿州市萧县城东初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：安徽省宿州市萧县城东初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形，熟练掌握俯视图的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、长方体的俯视图是矩形，故此选项不符合题意；
B、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
C、四棱锥的俯视图是画有对角线的四边形，故此选项不符合题意；
D、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键．
【详解】解：设两地间的实际距离为，
由题意得：，
解得：，
两地间的实际距离为，
故选：C．
3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意，分两种情况：当，即时，当，即时，分别进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：关于的方程有实数根，
当，即时，原方程为，解得：，符合题意；
当，即时，，
解得：，
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是，
故选：D．
4. 将分别写有“魅”“力”“安”“徽”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出个球，放回后再随机摸出个球，两次摸出的球上的汉字可以组成“安徽”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上汉字可以组成“安徽”的概率．
【详解】解：将写有“魅”“力”“安”“徽”四个汉字的小球分别记为：，
画树状图如下：
由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“安徽”的结果有种，即，，
∴两次摸出球上汉字概率为：，
故选．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键．
5. 若点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出a、b、c的值，判断即可；
【详解】∵点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，代入求出a、b、c的值是解题的关键．
6. 在中，＝，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义可知，可设BC=5k，AB=13k由勾股定理可求得，再利用余弦的定义代入计算即可．
【详解】解：如图:
在中，，可设BC=5k，AB=13k．
由勾股定理可求得．
所以，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．
7. 下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
8. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为1，则输出的值为2；若输入的值为，则输出的值为（ ）．
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】输入，则有；输入，则有，将代数式的值代入求解即可．
【详解】解：输入，则有；
输入，则有；
故选A．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值．解题的关键在于正确求解代数式的值．
9. 如图，在四边形中，，，E，F分别是，的中点，连接，，，点P为边上一点，过点P作，交于点Q，若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，由，，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理求得，再证明，则，即可求得，得到问题的答案．
【详解】连接，，
，，
，
，分别是，的中点，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
的长为1，
故选：B．
点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，根据三角形的中位线定理求出的长并且证明是解题的关键．
10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对.
【详解】解： 为正方形，
，，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
垂直平分，
故①正确.
由①可知，，，
，
，
，
由①可知，
.
故③正确
为正方形，且边长为4，
，
在中，.
由①可知，，
，
.
由图可知，和等高，设高为，
，
，
，
.
故④不正确.
由①可知，，
，
关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，
最小即为，如图所示，

由④可知的高即为图中的，
.
故②不正确.
综上所述，正确的是①③.
故选：D.
【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知是方程的两个实数根，则的值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴把代入方程得：，
可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13. 如图，在菱形中，，，对角线交于点分别是、的中点，则线段的长度为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的对角线垂直平分，求出的长，取的中点，连接，则是的中位线，易得为直角三角形，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵菱形中，，，
∴互相垂直平分，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
取的中点，连接，则：，

∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，含30度的直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，构造三角形的中位线，是解题的关键．
14 有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算即可．
【详解】解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
的纵坐标为，即，
，，，
，
点、在函数的图象上，
，
解得：（舍去），，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
三、解答题（共90分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先找出a，b，c，再求出的值，根据求根公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
【详解】解：
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形
（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形，并直接写出点的坐标；
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析，坐标是（6，4）．
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可；
（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1为所作，点C1点的坐标为（﹣3，2）；
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为（6，4）．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
18. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①和②中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；
（2）若反比例函数的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值．
【答案】18. ②，7；
19.
【解析】
【分析】本题考查新定义下的函数探究，一次函数、二次函数的性质，反比例函数的性质；
（1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解；
（2）先求出函数值的范围，再由已知得到关于a，b的等式，即可得到解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴有上界函数为②，其上确界为7，
故答案为②，7；
【小问2详解】
解：由已知可得，
∴，
∴
∴
19. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
【答案】（1）每件童服装应降价15元
（2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量=总利润列方程求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每件童服装应降价x元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：每件童服装应降价15元；
【小问2详解】
解：该店铺每周不可能盈利10000元，理由：
设该店铺每周可能盈利10000元，则，
整理，得，
∵，
∴所列方程没有实数根，
故该店铺每周不能盈利10000元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
20. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【解析】
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
21. 某学校准备组织学生参加唱歌、舞蹈、书法、朗诵活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查的总人数为______，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为______．
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加“书法”的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中随机选取两人当正式活动的主持人，利用画树状图法或列表法求选取的两人恰为一男一女的概率．
【答案】（1）200人，
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出抽样调查的总人数，再求出参加“舞蹈”的抽样学生的人数，即可求解；
（2）用总人数乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：抽样调查的总人数为，
参加“舞蹈”的抽样学生有（人），
扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为．
【小问2详解】
解：选择参加“书法”的有（人）．
【小问3详解】
解：记两名男生分别为，两名女生分别为，列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
22. 如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质：
（1）根据等边对等角得到，由根据平行线的性质得到，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证；
（2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得，即，结合可得结果；
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由（1）可知，，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1），；
（2）①8；②符合条件的点坐标是和．
【解析】
【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；
（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．
【小问1详解】
解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．