安徽省马鞍山市第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份安徽省马鞍山市第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果，则下列各式不成立的是( )
A. B. C. D.
2.若点在抛物线上，那么下列各点中一定在该抛物线的是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的图象最低点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.点和点是反比例函数图象上的两点，当时，，则k的取值范围( )
A. B. C. D.
5.如图，将放在正方形网格中，则的值为( )
A.
B.
C. 2
D.
6.一个矩形沿某对称轴对折后和原矩形相似，则对折后的矩形长边与短边之比为( )
A. 4：1B. 2：1C. 3：2D.
7.在中，，，则的值是( )
A. B. C. D. 不能确定
8.如图，已知AD为的角平分线，交AC于点E，如果，那么等于( )
A. B. C. D. 2
9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，连接CF，过点B作，垂足为G，连接DG，有下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.
D. ∽
10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一竹竿高米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高为______米.
12.如图，反比例函数图象上一点C，过点C作轴，垂足为D，连接OC，，那么此反比例函数的表达式为______.
13.已知∽，其中一组对应边BC与EF的长分别为32cm和12cm，它们的周长相差45cm，则的周长为______
14.已知，且，则______.
15.已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______.
16.如图，的高BD、CE相交于F点，连接若，则______.
17.已知：，，m，n为实数，则p的最大值为______.
18.在中，，AD是BC边上的高，并且，则的度数为______.
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题6分
计算：
20.本小题8分
如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
填空：______，______；
判断与是否相似？并证明你的结论．
21.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，，，，对四边形OABC依次进行下列两个变换：①关于y轴对称；②以原点为位似中心，位似比为3的位似变换；
在平面直角坐标系中画出四边形OABC及上述两个变换后的图形；
若四边形OABC内一点，用坐标表示上述变换是：______，____________，______
22.本小题8分
如图，在梯形ABCD中，，过AC和BD的交点O作交AD于点M，交BC于点
猜想：OM ______填“>”，“<”或“=”
求证：
23.本小题8分
如图，已知在中，，边BC上的高为80，在这三角形内有一个内接矩形DEFG，矩形的边DE在BC边上，点F、G分别在边AC、AB上，设矩形的边DE长为x，边EF长为
请用x的代数式表示y；
当x，y分别为多少时，这个矩形的面积最大.
24.本小题8分
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线
求抛物线的表达式和顶点D的坐标；
若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立；
B、如果，则，所以B选项的等式成立；
C、如果，则，所以C选项的等式成立；
D、如果，则，所以D选项的等式成立．
故选：
根据比例性质，前项加或减后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断．
本题考查了比例的性质：若，则熟练运用比例的性质可提高运算的速度．
2.【答案】B
【解析】解：点在抛物线上，
，
当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；
当时，，故点在抛物线上，符合题意；
当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；
当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；
故选：
由题意得，只需把各点的横坐标代入解析式，即可判断．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，所有在二次函数上的点的坐标适合解析式．
3.【答案】D
【解析】解：，则其顶点坐标是
故选：
将已知函数解析式转化为顶点式方程，然后求得其顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的最值．抛物线的图象最高点的坐标就是抛物线的顶点坐标，解题时，利用了完全平方公式将抛物线一般式方程转化为顶点式方程，由此直接求得抛物线的顶点坐标．
4.【答案】B
【解析】解：点和点是反比例函数图象上的两点，当时，，
，
，
故选：
根据已知条件可知，函数在第四象限内y随x的增大而增大，得，即得k的取值范围．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
5.【答案】A
【解析】解：如图，
设小正方形的边长为1，
则在中，根据勾股定理得，
，
故选：
构造直角三角形，设小正方形的边长为1，则在中，，利用余弦函数的定义计算即可．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是将求锐角三角函数值的角构造到直角三角形中．
6.【答案】D
【解析】解：如图：矩形ABCD沿EF对折后，所得矩形ABFE与矩形ADCB相似，
，
由折叠得：
，
，
，
，
：：1，
对折后的矩形长边与短边之比为：1，
故选：
利用相似多边形的性质可得，再利用折叠的性质可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：当AB是斜边时，，
当AB是直角边时，，
则，
故的值不确定．
故选：
由于在中，，，13可能是斜边，也可能是直角边，故的大小不确定，依此即可求解．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是根据题意进行分类讨论．
8.【答案】B
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
故选：
根据等腰三角形的判定定理得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，即，
，
，
，A正确，不符合题意；
，，
∽，
，
，，
，
，
∽，
正确，不符合题意；
∽，
，
，
，即，B正确，不符合题意；
故选：
根据正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理进行证明，判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①错误．
时，，
，②错误．
抛物线对称轴为直线，时，
时，，③正确．
，
，
，
，
，④错误．
时y取最大值，
，即，⑤正确．
故选：
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】30
【解析】解：设塔高为h米，根据同一时刻物高和影长成正比，则有h：：1；
，
所以塔的高度为30米．
故答案为：
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12.【答案】
【解析】解：轴，，而，
，
，
反比例函数为
故答案为：
根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值
13.【答案】27
【解析】解：∽，其中一组对应边BC与EF的长分别为32cm和12cm，
和的相似比为32：：3，
他们周长的比为8：3，
设的周长为8x cm，则的周长为3x cm，
根据题意得：，
解得：，
的周长为，
故答案为：
根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，
点C是线段AB的黄金分割点，，
，
，
整理得：，
解得：，舍去，
，
故答案为：
设，则，从而可得，然后根据黄金分割的定义可得，从而可得，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：和CE是的高，
于点D，于点E，
，，
∽，
，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
故答案为：
由，，证明∽，得，变形为，再证明∽，由，，，所以，则，再证明∽，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查等角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：把代入得：
，
当时，P最大为
故答案为：
把代入得到用m表示p的二次函数，整理成顶点式，根据抛物线开口向下，函数有最大值可得p的最大值．
此题主要是考查了二次函数的最值，能够得到用m表示p的二次函数是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：当为锐角时，
，AD是BC边上的高得，
，，
∽，
，
；
当为钝角时，
同理可得，∽
故答案为：或
根据已知可得到∽，注意可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定度数．
本题考查了相似三角形的性质，分类讨论思想，知道分类讨论是解题的关键．
19.【答案】解：原式

【解析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的关键．
20.【答案】； ；
∽
证明：在的正方形方格中，
，，
，，，，
，，
，
∽
【解析】【分析】
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
根据已知条件，结合正方形网格的特征可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
根据相似三角形的判定定理，对应边成比例且夹角相等即可证明与相似．
【解答】
解：，
；
故答案为； ；
见答案.
21.【答案】，
【解析】解：如图，四边形，四边形即为所求．
，
故答案为：，n，，
利用轴对称变换，位似变换的性质作出图形即可；利用轴对称变换，位似变换的性质求解即可．
利用轴对称变换，位似变换的性质求解即可．
本题考查作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】=
【解析】解：经过点O，且，
，，
∽，∽，
，，
，
，
，
，
故答案为：
由得，
∽，
，
，，
，
∽，
，
，
先证明∽，∽，则，，根据平行线分线段成比例定理得，所以，则，于是得到问题的答案；
由∽，得，由∽，得，则，而，即可推导出
此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽、∽及∽是解题的关键．
23.【答案】解：如图，过A作于K，交GF于M，
四边形GDEF是矩形，
，，，，
∽，
，
，，，
，
；
--，
而，所以S有最大值，
当时，
，
当，时，这个矩形的面积最大．
【解析】如图，过A作于K，交GF于M，再证明∽，可得，再整理可得答案；
由，而，所以S有最大值，再利用二次函数的性质可得答案．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，二次函数的最值问题，掌握其性质是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
顶点；
存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似，理由如下：
令，则，
解得或，
，，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，，，
当时，，
，
解得或舍，
；
当时，
，，
过点D作轴交于点H，
，，
，
，
，
，
，
此时没有P点使P、A、D三点为顶点的三角形与相似；
当时，AD的中点，
点P在以M为圆心，AD为直径的圆上，
，
此时t无解，
此时没有P点使P、A、D三点为顶点的三角形与相似；
综上所述：P点坐标为
【解析】根据对称轴，求出a的值，即可求函数的解析式；
由题意可知是直角三角形且，分三种情况讨论：当时，，此时；当时，此时没有P点使P、A、D三点为顶点的三角形与相似；当时，AD的中点，由，可得t无解，此时没有P点使P、A、D三点为顶点的三角形与相似．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．