安徽省芜湖市无为市九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省芜湖市无为市九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据绝对值的意义，求出结果即可．
【详解】解：，
故选：A．
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：1600000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：该立体图形从正面看到的是．
故选：B．
4. 方程 的根的情况（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于0方程有两个不相等的实数根判断即可得到答案；
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选D．
5. 如图，将的圆周等分，圆内接矩形的面积为，则圆内接正六边形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解．
【详解】解：连接，交于，
四边形是矩形，
，
，是的直径，
将的圆周等分，，
，
是等边三角形，
边即为圆内接正六边形边，
圆内接矩形的面积为，
，
圆内接正六边形面积为，
故选：B．
6. 已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵﹣(a2+1)＜0，
∴反比例函数的图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵，
∴.
故选D.
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质：（1）当k＞0时，函数图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，函数图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
7. 已知，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；
C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；
D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
8. 定义：给定关于的函数，对于该函数图象上任意两点，当时，都有为，称该函数为增函数，根据以上定义，下列函数中①；②；③；④是增函数的（ ）
A. ①③④B. ①②C. ③④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质的性质逐项判断即可，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：中，，
随的增大而增大，故①符合题意；
中，，
随的增大而减小，故②不符合题意；
中，，抛物线开口向上，对称轴为轴，
当时，随的增大而增大，故③符合题意；
中，，
图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，故④不符合题意；
综上所述，增函数的有①③，
故选：D．
9. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为中点，连交于点．若的面积为2，则四边形的面积为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．由平行四边形的性质得，，由为中点，得，可证明，得，则，求出，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
为中点，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
10. 如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
【详解】点关于原点的对称点为．
故答案为．
12. 如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．

【答案】7
【解析】
【分析】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为：，
由题意可得：，
解得：，
故答案为：7．
13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
14. 已知抛物线与y轴的交点为A，对称轴为直线，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为．
（1）________；
（2）若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与线段的交点个数．
（1）利用对称轴公式可求得的值；
（2）抛物线与直线l的两个交点坐标，分和时两种情况讨论，画出图形，根据图形解答即可求解．
【详解】解：（1），
对称轴直线，
∴，
故答案为：；
（1）当时，，
∴点A的坐标为，则点B的坐标为，直线l为，
∴点C的坐标为，
∵对称轴为直线，
∴抛物线与直线l的另一个交点为，
当时，如图，
由图象知：或，
解得或，
∴；
当时，如图，
由图象知：，
解得，
综上，或．
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的；
（2）画出绕O点顺时针旋转90°后得到的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
（1）把点、、的横纵坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点、，的对应点、、即可得到．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “核桃”是四大坚果之一，核桃仁含有丰富的营养紫，蛋白质，碳水化合物，并含有人体所必需的钙、磷、铁等多种微量元素和矿物质，核桃树在陕西多地均有种植．某核桃基地对市场调查发现，当核桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地核桃的平均成本价为元/千克，若使销售核桃每天的利润为元，则售价应降低多少元？
【答案】售价应降低元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设售价应降低元，则每天可售出千克，每千克的利润为元，根据每天获利元，可得方程，解方程即可．
【详解】解：设售价应降低元，则每天可售出千克，
根据题意，得，
整理得，，
解得，，
要减少库存，
不合题意，舍去，
；
答：售价应降低元．
18. 已知的面积为，点分别在边上，且．
（1）如图1，若，则四边形的面积（用含的式子表示，下同，
如图2，若，则四边形的面积；
如图3，若，则四边形的面积____________；以此类推，…
若，则四边形的面积_________；
（2）计算．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，得出是解此题的关键．
（1）先算出，再判断出，得出，进而得出，即可得出结论，同理即可得出；
（2）由（1）可得：，从而得出，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测角器的高度为米，在测点A处安置测角器，测得点M的仰角，在与A点相距米的测点D处安置测角器，测得点M的仰角（点A，D与N在同一条直线上），求电池板离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】8米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，米，根据， 得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可．
【详解】解：延长交于点F，如图，
设米，
∵，，，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形均为矩形，
∴米，，米，
∵， ，
∴（米），（米），
中，，即，
解得（米），
∴，
即电池板离地面的高度约为米．
20. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，于．求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
（1）根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边即可得到结论；
（2）先求得，证明，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得到结论．
【小问1详解】
连接，
∵点是的内心，
．
．
．
【小问2详解】
连接交于，连接．
同（1）得
点在线段的垂直平分线上．
又点在的垂直平分线上
垂直平分，即：，且．
．
．
六、（本题满分12分）
21. 端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【答案】（1）统计图见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概：
（1）用D的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出B、C的人数，据此补全统计图，再用360度乘以C的人数占比即可求出C所占的圆心角度数；
（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到第二个吃A的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：调查的市民人数为：（人），
∴喜欢B种口味粽子的人数为：（人），
∴喜欢C种口味粽子的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为： ，
故答案为：72；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，
∴小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；
（2）点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用二次函数的性质求三角形面积最值．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）设点为，点为，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得，
∴点，
∵一次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由题意可设点为，点为，且，
则，
且，
∴当时，最大，此时点坐标为．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在中，为边上一点，于，连接并延长交于．
（1）若，求的长；
（2）若点为中点，①求证：；②求的值．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用三角形全等和相似的性质解题．
（1）证明，根据相似三角形的性质即可得出，从而得解；
（2）①延长，使得，连接，证明，进而证明，得出是等腰直角三角形，即可得解；②取的中点，连接，由三角形中位线定理得出，证明，结合，利用相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，延长，使得，连接，
，
，且，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：如图，取的中点，连接，
，
、是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
由（1）可得：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．