安徽省淮南市田家庵区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省淮南市田家庵区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意；
B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意；
故选：D．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．y有最小值是3
C．对称轴是直线D．当时，y随x增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可．
【详解】解：二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故B错误；
根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误；
∵对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，故D正确；
故选：D ．
3．将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律即可得到答案．
【详解】解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为，即，
故选：C．
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】B
【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可．
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：且．
故选：B．
5．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：
判断方程的一个解的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系．
仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，
即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为．
故选：．
6．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：
故选：B．
7．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
故选：C．
8．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0B．2025C．2024D．2023
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C
9．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．
先根据一次函数图象确定出，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．
【详解】解：观察四个选项，得出一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴抛物线开口方向向下，
则对称轴为直线，即对称轴在轴的正半轴，
∵，
∴抛物线不经过原点，
∴只有C选项图象符合．
故选：C．
10．二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ）
A．②③④B．②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．
根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，,
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
当，，，故④正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即，故⑤不正确，
正确的有②③④，
故选：A．
二、填空题
11．一元二次方程的一个根为 1，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 1，
∴，
解得．
故答案为：．
12．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．
【详解】解：由题可知，的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为．
故答案为：．
13．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根．
利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值．
【详解】解：根据题意，构造图形如图所示:
则，，
∵，
∴，
即m就是的一个正根，
∴
解得 (负值已舍)．
故答案为：．
14．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过点，则 ．
（2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质．
（1）把代入二次函数解析式，解方程即可．
（2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）二次函数的图象经过点，
，解得，
故答案为：．
（2），
将该二次函数的图象向下平移个单位长度，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标为，
，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
15．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）两边除以2，开平方法解答；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
两边除以2，得，
开平方，得，
∴．
（2）解：∵，
分解因式，得，
∴，
∴．
16．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求该函数的表达式．
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点坐标设二次函数的解析式为，再把点代入求解即可．
【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设该函数的表达式为，
∵二次函数的图象经过点，
把点代入得，，
解得，
∴该函数的表达式为．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题目的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键．
17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足，求k的值
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围；
（2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
18．如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
(1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个；
(2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个；
（2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个，
图案2空心圆有个，实心圆有个，
图案3空心圆有个，实心圆有个，
……
∴图案中实心圆有个，空心圆有个，
故答案为： ，
（2）存在，理由如下：
设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得：
，
整理，得，
解得（舍去）或，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
19．如图，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点．已知一次函数的图象过点，．
(1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足的的取值范围．
【答案】(1)抛物线对称轴为直线，一次函数解析式为
(2)
【分析】（）根据二次函数的解析式可求出抛物线的对称轴，再求出点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（）根据交点的坐标，结合两函数的图象即可得出不等式的解集；
本题考查了二次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与不等式等，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
解得，，
∴点的坐标是，点的坐标是，
把代入，得，
∴点的坐标是，
把和代入得，
，
解得，
∴一次函数的解析式是；
（2）解：∵抛物线与一次函数的交点为，，
∴根据函数图象可知，的的取值范围是．
20．阅读下面的材料：
解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
已知实数，满足，试求的值．
【答案】5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键．设，则原方程可化为，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设，则原方程可化为，
因式分解，得，
∴或，
解得，
∵，，
∴，
∴．
21．已知二次函数的图像经过点．
(1)求与的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)当时，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为；
(3)或
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的最值的求解、二次函数图像与性质的应用：
（1）将A代入函数解析式求出a，再将B代入解析式求出m；
（2）画出二次函数图像，根据增减性求出最大值和最小值即可；
（3）求出时x的值，画出二次函数图像，数形结合即可求出x的范围．
【详解】（1）解：将代入，得，即，
∴二次函数为，
将代入，得，
即，；
（2）解：二次函数的图像如图所示：
在时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，函数的最大值为，最小值为．
（3）解：如图所示：
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当时，x的取值范围是或．
22．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元．
(1)用含x的代数式表示．
①每个商品的实际利润是 元；
②实际的销售量是 个．
(2)为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？
【答案】(1)①，；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握利润问题中总利润、单个利润、销售量之间的关系是解题的关键．
（1）①根据利润 = 售价 进价，结合涨价金额，得出每个商品的实际利润表达式；②根据每个涨价元销售量减少个，计算出涨价元时销售量的减少量，进得出实际销售量表达式．
（2）根据总利润 = 单个利润×销售量，列出方程，求解后根据尽量兼顾顾客利益的条件确定售价．
【详解】（1）解：①∵ 进货单价为元，原售价元，涨价元，
∴ 每个商品的实际利润是元，即元．
②∵ 每个涨价元，销售量就减少个，涨价元，
∴ 销售量减少个，
又∵ 原销售量为个，
∴ 实际的销售量是个，即个．
（2）解：根据题意得
，
展开得：，
移项整理得：，
因式分解得：，
解得，．
∵ 要尽量兼顾顾客的利益，即售价应尽量低，
∴取，此时售价为（元）．
答：每个售价应定为元．
23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)点P的坐标为：，PE的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）把和代入到进行求解即可；
（2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答．
【详解】（1）解：∵和在抛物线上，
∴，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：过点P作轴于点，交于点N，
设直线的表达式为，
∵和在直线上，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，则，
∴直线与y轴交于点，
又∵点为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴直线和x轴的正半轴的夹角为，
∴，
∴，
设点P的坐标为，点，
∴
，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点P的坐标为，
又∵，
∴的最大值为．