安徽省六安皋城中学九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安皋城中学九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共计40分．每题给出四个选项A、B、C、D，其中只有一个符合题目要求．）
1. 剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E，
根据题意，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：．
4. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 乙和丁D. 甲和丙
【答案】A
【解析】
【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．
详解】解：老师—甲： ，故甲错误；
甲－乙：，故乙错误；
乙－丙：，故丙正确；
丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确．
A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．
故选：A
【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．
5. 如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦AB的长为，则液体的最大深度CD为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
垂径定理可得，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
在中，，
∴，
故选：C．
6. 如图，圆规两脚张开的角度为α，，则两脚张开的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作，垂足为C，则通过等腰三角形可知，结合用三角函数值表示即可．
【详解】解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，能够熟练构造直角三角形利用三角函数表示线段长度是解题关键．
7. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，故A结论错误，不符合题意；
，
，
，
∴．故B结论正确，符合题意；
在中，，
，
，
∴与不垂直．故C结论错误，不符合题意；
在中，，
，
∴．故D结论错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
9. 如图，中，，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，过点D作于点F，过点E作于点G．则（ ）
A. B. 5C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，过A点作于H，过E点作于I，则，，得出，，勾股定理算出，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，即可求解．
【详解】解：如图，过A点作于H，过E点作于I，
则，，
∵，．
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，．
∴四边形是矩形．
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，
由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点，
∴，
当时，动点从点沿直线运动到上的点，
此时的面积不变，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
二、填空题（每题5分，共计20分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______；
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可．
【详解】解：实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为________米．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．由矩形的性质可得出，，利用相似三角形的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：为矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴(米)，
故答案为：3．
13. 用半径为20，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可．
【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r
根据题意得
解得
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______．

【答案】 ①. ②. 12
【解析】
【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案；
∴；
②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案．
故答案为：，
【详解】解：①∵在上，
∴，即，
如图，连接，过作轴于，过作轴于，

∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，
同理可得：，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，则，
解得：，即，
∴，
，
如图，过作于，

∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，而，
∴，，
∴正方形的面积．
故答案为：，
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：
；
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形，点，均为格点（网格线的交点）．
（1）画出关于直线对称的；
（2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换和旋转变换，熟练掌握和运用轴对称变换和旋转变换作出图形是解决本题的关键．
（1）利用网格特点和轴对称的性质，分别画出A、B、C关于的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出，的对应点即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知线段、满足，且．
（1）求线段、的长；
（2）若线段是线段、的比例中项，求线段的长．
【答案】（1）线段的长为6，线段的长为4．
（2）线段的长为
【解析】
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得答案．
【小问1详解】
解：，
设，，
∵，
，
，
，，
线段的长为6，线段的长为4．
【小问2详解】
解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
18. 为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，）
【答案】的长为．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过点作于点，作于点，易知四边形为矩形，得到，，利用三角函数求出，，推出，，再利用三角函数求出，最后根据，即可解题．
【详解】解：过点作于点，作于点，
由题易知四边形为矩形，
，，
遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，
，
，
高为4米，
，
，
又太阳光线与地面的夹角为，
，
．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】1）连接，证明，，结合，可得，从而根据等角对等角可得答案；
（2）连接，证明，证明，再结合弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：连接
为的切线
∵，
；
【小问2详解】
解：连接
点为弧的中点
又
弧．
【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角之间的关系，弧长的计算，三角形的内角和定理等知识，掌握相关知识的联系与运用是解本题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出时的取值范围；
（3）过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为；
（2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论；
（3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
【小问2详解】
解：联立，
解得：或，
，
观察图象得，时，的取值范围为或，
即时，的取值范围为或；
【小问3详解】
解：设，
∵轴，
∴，
，
，
解得：，
．
六、（本题满分12分）
21. 为弘扬中华优秀传统文化，促进文化传承，某校组织全校学生进行了一次“中华优秀传统文化知识竞赛”活动．现从七年级和八年级各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据是：
，，，，，，，，，，，
整理数据：七、八两个年级40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______；若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______年级（填“七”或“八”）；
（2）在此次竞赛活动中，唐颖同学的成绩是分，在她所在年级排在前名，根据上述表格中的数据可知唐颖是______年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）七年级有名学生参加本次竞赛活动，如果成绩超过分可以参加决赛，请你估计七年级能参加决赛的人数．
【答案】（1）；；八
（2）七 （3）人
【解析】
【分析】本题考查了频数（率）分布表．读懂统计表，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据中位数的定义求出，再用乘以八年级的成绩在的人数所占的百分比，求出成绩在这一组的扇形的圆心角度数，然后根据方差的应用即可得出本次测试成绩更整齐的年级．
（2）根据七年级、八年级的中位数，再结合唐颖同学的成绩即可得出答案．
（3）用七年级的总人数乘以成绩超过分的人数所占的百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
共有名同学，中位数是第、个数的平均数，
中位数；
成绩这一组的扇形的圆心角是：；
七年级的方差是，八年级的方差是，．
故答案为：；；八．
【小问2详解】
七年级的中位数是，八年级的中位数是79．
唐颖是七年级的学生．
故答案为：七．
【小问3详解】
根据题意得：
（人），
答：估计七年级能参加决赛得人数有人．
七、（本题满分12分）
22. 如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、，
（1）求证：；
（2）在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据，D是的中点，得到，继而得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明；
（2）①连接，根据，H是的中点，得到中位线，结合，利用三角函数证明即可．
②根据，，结合三角形中位线定理，利用三角函数，平行线分线段成比例定理，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键．
【小问1详解】
∵，D是的中点，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵
∴．
【小问2详解】
①连接，
∵，H是的中点，
∴中位线，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴,
设，
则，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值；
（3）点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为；
（2）周长的最小值为；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论；
（）求得坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在的上方时，如图,设交轴于，当在的下方时，如图，分别解答即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：令，则，
∴或，
∴A−2,0，B4,0，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，，
∴，
取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图，
∵点是轴上的一动点，
∴此时最小，，
∴，
∵，，
∴，
∴周长的最小值为；
【小问3详解】
解：由，
∵B4,0，，
∴。
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，
∴，
分两种情况：
当在的上方时，如图,设交轴于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
同理得：的解析式为，
∴，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
当在的下方时，如图，
∵，
∴，
当时，，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键．
组别
七年级
6
8
4
八年级
3
5
5
统计量
平均数
众数
中位数
方差
七年级
a
八年级