安徽省六安市金安区六安皋城中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市金安区六安皋城中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 今年1月至3月，我省重点铁路项目加快实施建设，累计完成投资80亿元，占全年计划的19％，同比增长87.8％，实现良好开局，80亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：80亿=8000000000=8×109，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母指数不变，只把系数相加减．据此逐个判定即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据对顶角相等，三角形的内角和为180度，进行求解即可．
【详解】解：∵与是对顶角，与是对顶角，
∴，
∵三角形是直角三角形，
∴，即．
故选B．
5. 如图，图和图都是由个相同的长方体组成的立体图形，则下列关于它们三视图的说法中正确的是（ ）
A. 图和图的左视图相同B. 图和图的主视图相同
C. 图和图的俯视图相同D. 图的俯视图与图的左视图相同
【答案】A
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：图和图的左视图相同，都是一列两个长方形，故选项A符合题意；
图和图的主视图不相同，图主视图上层的小正方形位于右边，图上层的小正方形位于中间，故选项B不合题意；
图和图的俯视图不相同，图的俯视图为一行两个长方形，图的俯视图为一行三个长方形，故选项C不合题意．
图的俯视图为一行两个长方形，图的左视图是一列两个长方形，故选项D不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）主视图：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）左视图：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）俯视图：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．
6. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 平均数是144B. 众数是141C. 中位数是144.5D. 方差是5.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【详解】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是：，故C选项错误；
方差是：，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键．
7. 若a，b是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根等知识．熟练掌握无理数的估算，算术平方根是解题的关键．
由，可得，根据的算术平方根为，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴的算术平方根为，
故选：D．
8. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得出答案．
【详解】一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，即
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即，，熟练掌握并会应用是解题的关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，等边△ABE的顶点E正好落在CD边上，AC与BE交于F点，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，得CE=DE=CD＝AB，再由△CEF∽△ABF，得．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，
在Rt△DAE与Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴CE=DE=CD＝AB，
∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明Rt△DAE≌Rt△CBE是解题的关键．
10. 如图，在四边形中（AB不平行于CD），点M，N分别为，的中点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，分别延长，交的延长线于点P，Q，则
D. 若，分别过点M、N作，，且，相交于点G，连接，，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】连接，取中点E，连接，根据三角形的中位线定理，即可判断A；根据三角形的中位线定理和平行线的性质，推出，则，根据勾股定理，即可判断B；根据三角形的中位线定理，得出，
则，即可判断C；根据题意作出图形，
通过证明，得出，进而得出，再推出，则，得出，即可判断D．
【详解】解：A、连接，取中点E，连接，
∵点M，N分别为，的中点，点E为中点，
∴，
∴，即，
故A正确，不符合题意；
B、∵点M，N分别为，的中点，点E为中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B不正确，符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
D、分别过点M、N作，，且，相交于点G，连接，，，，连接，取中点E，连接，延长相交于点O，
∵点M，N分别为，的中点，点E为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，点M，N分别为，的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，则，
∵，点N为中点，
∴，
∴，
∴，
过点E作与点F，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
故D正确，不符合题意；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】##1.5##
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则化简各数后，再进行加法运算即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根以及零指数幂的运算，熟练掌握算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则是解答本题的关键．
12. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用公式法分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题关键是按因式分解一般步骤：一提、二套、三分组，有公因式要先提公因式进行分解．
13. 如图，的直径，C是上一点，点D平分，，则弦______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，由题意可知平分为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答．
【详解】解：∵点D平分，
∴平分，
∴为中位线，
又∵的直径
∴
∴
则弦，
故答案为：8．
14. 如图，矩形对角线的交点为，点在轴的正半轴上，平分，的面积为．若双曲线经过点，交于点，且，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴，过点作轴，得，根据，得，根据点，在反比例函数上，则，根据线段之间的等量关系，得到，根据矩形的性质，平行线的判定，得，得到，再根据，，即可求出．
【详解】过点作轴，过点作轴，
∴，
∵，
∴，
∵点，在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和几何综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，矩形的性质，的几何意义．，
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．
先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出不等式组的解集即可．
【详解】解：由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集是．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，的坐标为（-4，2）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图△ABC位置确定A（-1,1），B（-1,4），C（-3,2），△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1，
∴A1横坐标为-1+（4-1）=2，纵坐标为4-（-1+2）=3，点A1（2，3），
C1横坐标为-1+（4-3）=0，纵坐标为4-（-1+3）=2，点C1（0，2），
在平面直角坐标系中描点A1，C1，顺次连结，，
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
∵是△ABC以原点为位似中心，位似比为2：1放大后的对应图形，点A的坐标为（-2，1），
∴的坐标为（-4，2）；
【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 阅读下列材料：
，，，，，

．
解答下列问题：
（1）在和式中，第项为______，第项是______．
（2）上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)由已知中所给的条件找出规律解答；
(2)把每一个分式先分列为两个分式，找抵消规律，再计算．
【小问1详解】
解：由算式规律可得：分子都是1，第几项分母就是从小到大的第几个正奇数与比它大的相邻奇数的积，
∴第项为，第项是 ；
【小问2详解】
解：将分式方程变形为，
整理得，
方程两边都乘以，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】解答此类题目关键是找出规律再解答，在计算分式时若分母有规律可循是可将其分开以简化计算．
18. 某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．
【解析】
【分析】（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．
【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得，
解得，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品件，
根据题意可得：，
解得：，
令总利润为w，则，
，
∴当时，获得利润最大，此时，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的外接圆，是的直径，是的切线，切点为F，，连接交于E，连接．
（1）证明：平分；
（2）若的平分线交于点D，，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先连接，由是的切线，切点为F，，易证得，然后由垂径定理，求得平分；
（2）易证得是等腰三角形，即可求得的长，根据正切的定义即可求得答案．
【小问1详解】
解：连接，如图所示：

是的切线，
，
∵，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：如图作出的平分线交于点D，
，，且，，
，
，
是的直径，
，
【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
20. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论;
（2）解直角三角形即可得到结论.
【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE＝60°,
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK,
∵△AEF是等边三角形,
∴AK＝,
∴,
∴FM＝2FK＝,
∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;
（2）∵∠AFE＝74°,
∴∠AFK＝37°,
∴KF＝AF•cs37°≈0.80,
∴FM＝2FK＝1.60,
∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,
6.92﹣6.40＝0.5,
答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．某学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．演讲、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加调查的学生共有______人；条形统计图中m的值为______；扇形统计图中的度数为______；
（2）根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；
（3）现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）60，11，
（2）最喜欢“音乐”社团的约有200人
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）用B组的人数除以B组所占的百分比，即可求出参加调查的学生总人数；用参加调查的学生总人数分别减去A、B、C组的人数，即可求出m的值；用360度乘以C组人数所占的百分比，即可求出的度数；
（2）用该校总人数，乘以最喜欢“音乐”社团人数所占百分比，即可求解；
（3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：参加调查的学生共有（人），
，
，
故答案为：60，11，；
【小问2详解】
解：（人），
答：最喜欢“音乐”社团的约有200人．
【小问3详解】
解：根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，恰好选中甲和乙两名同学的情况有两种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率，
22. 如图（1），已知抛物线与轴交于点，B，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图（2），连接，若点是线段上一点，，求的长；
（3）如图（3），若点在直线上方的抛物线上，连接，交于点．当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线与轴交于点，与轴交于点，得到，求出，再写出抛物线的表达式为；
（2）先解方程得或，得到，
进一步得到，，，再证明，求出；
（3）设，且，过点作于点 ，过点作于点，则，再分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，再解方程组得
，进一步表示，，
，最后证明，得到，构造关于的方程求出或，进一步写出点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解方程得或，
，
，,
∵
∴
∵，，
∴，
∴，即
∴．
【小问3详解】
如图（3），设，且，
过点作于点 ，过点作于点，则，
设直线的解析式为，则
解得，
∴直线的解析式为
∵，
∴直线的解析式为
解方程组得
∴，
∵
∴
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴，
解得或，
当时，；
当时，．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程的解为二次函数与轴的交点坐标、二元一次方程组的解是对应一次函数的交点坐标，三角形相似的性质、平行线分线段成比例定理，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点．
七、（本题满分14分）
23. 如图1，在矩形中，点对角线上一点，点是边上一点，交于点，．
（1）①________；
②连接，若，，则线段的最小值是________；
（2）如图2，若矩形是正方形，，求的值；
（3）如图3，点为的中点，连接，，若，求证：．
【答案】（1）①90；②8；
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）①由四边形ABCD是矩形得∠FAD=90°，通过等量代换可得∠ADF+∠DAE=90°，最后可证得结论；②取AD的中点O，以AD为直径作半圆O，连接OB，当O、P、B三点共线时，线段PB取得最小值，进行求值即可；
（2）作于，得到，再用勾股定理求出，再求比值即可；
（3）延长交于点，设，，先证，得，求得，再证，求得，再求与，最后证得结论．
【小问1详解】
①解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAD=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵，
∴∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠APD=90°，
②如图1，取AD的中点O，以AD为直径作半圆O，连接OB，
∵∠APD=90°，
∴点P在半圆O上，
∴当O、P、B三点共线时，线段PB取得最小值，
∵OA=，AB=12，
∴，
∴PB=OB-OP=13-5=8，
故答案为：①90；②8；
【小问2详解】
如图2所示，作于，
可得，
则，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵在中，，
，
，
；
【小问3详解】
如图3所示，延长交于点，
设，，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，点为的中点，
，
又，
，
，
即，
，
，，
，
．
一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）