浙江省宁海中学2025-2026学年高一上学期开学创新班提前招生（中学生素质测试） 数学试题（含解析）

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一、选择题（每题5分，共8题）
1. 估计值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
2. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
3. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. 28°B. 32°C. 38°D. 58°
4. 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，中，点为中点，已知，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
6. 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个正数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的几何平均数称为和的几何平均数）报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知点在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
8. 已知四边形中，，连接对角线，若且平分，则的长为（ ）

A. B. 3
C. D.
第II卷
二、填空题（每题5分）
9. 若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________.
10. 分解因式：___________.
11. 一个十进制正整数的平方可以分割为两个正整数，如果这两个正整数之和恰好等于，那么我们就称为美满数.例如，可以分割成20和25，因为，所以45就是美满数.则9___________（填“是”或“不是”）美满数；最大两位数的美满数是___________.
12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于的一元二次方程的两个实数根为___________.
13. 一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为①，⑥的两个小矩形为正方形，若②的面积为10，则的面积___________.

14. 已知二次函数经过点是射线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线.若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标取值范围是___________.
15. 如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点逆时针旋转至，使得点落在对角线上处，连结，点分别为的中点，连接，若，，则___________.

16. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.射线交正方形的边于点，连接，若，则用含的式子表示的值是___________．
三、解答题（第17题10分，第18题8分，第19题12分，第20题10分）
17. 在正方形网格中，已知三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺和格点，按要求完成下列作图.

（1）在图1中，在边上作点，使得；
（2）在图2中，在边上作点，使得，并计算的长为___________.
18. 已知实数满足方程组，试求关于的方程的解.
19. 如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，点坐标为，连接.
（1）求顶点坐标（用的代数式表示）；
（2）延长与轴交于点，求点的坐标；
（3）对称轴与轴交于点，连接，，如果，求此抛物线的表达式.
20. 如图1，内接于半径为圆，点为半圆上一动点，连接交于点，
（1）如图2，连接，若，求的长；
（2）如图3，过点作的平行线交射线于点，交圆于点，若，求的值.