浙江省海宁市高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段性测试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省海宁市高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段性测试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 己知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可
【详解】或
所以，
故选：D
2. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.
【详解】函数定义域为R．又，
所以函数为奇函数，设，，函数单调递增，
设，则在上单调递减，故函数在R上是减函数.
故选：C.
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
考点：求函数定义域
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.
【详解】因为，所以，
所以为奇函数，故排除A，C．
当时，，，则，故排除B，
故选:D．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5. 近年来纯电动汽车越来越受消费者青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A. 1.25B. 1.5C. 1.67D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.
【详解】
，
故选：C
7. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的取值范围，明确三角函数的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案.
【详解】解：已知，则，
因为在上是减函数，故；
因为幂函数在上是增函数，故，
故．
故选：A.
8. 设函数是定义在上奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. 已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，
则，解得
又，，
故选：CD．
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为16
C. 的最小值为8D. 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项利用“1”的代换可求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A，由已知得，，，又，，故A正确；
对于B，由已知得，当且仅当，时等号成立，所以，得，故B正确；
对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；
对于D，由已知得，，，又，.又，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 若的图像是一条连续曲线，且，则在内没有零点
D. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，直接由指数复合函数的值域即可判断；对于B，直接由对数复合函数单调性列出不等式组判断即可；对于C，由零点存在定理的相关知识点举出反例即可判断；对于B，首先得出直接的关系与符号，再将分式不等式等价转换为相应的一元二次不等式即可.
【详解】对于A，由于，所以，等号成立当且仅当，故A错误；
对于B，由于，所以关于在上是减函数，
若要使函数（且）在上是减函数，
则由复合函数单调性单调性可知函数关于在定义域内单调递增，
所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是，故B正确；
对于C，不妨设，满足的图象是一条连续曲线，且，
但在内有一个零点即，故C错误；
对于D，由题意，所以，
从而，
即关于的不等式的解集是，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期是
B. 若， 则
C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
D. 若，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D.
【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，
所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；
对于B，因为，所以的图像关于点对称，
所以，故B正确；
对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以，
又，所以，所以，
即满足条件的有且仅有1个，故C正确；
对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，
所以，其中，解得，，
当时，，当时，，
故的取值范围是，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 已知幂函数的图象经过点，则的增区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据幂函数过的点求出其函数表达式，然后结合复合函数单调性单调性即可求解.
【详解】由题意设幂函数为，则，所以，解得，所以，其定义域为，
而关于在上分别单调递减、单调递增，
关于在定义域内单调递增，在均是单调递减，
由复合函数单调性可知在上分别单调递增、单调递减.
故答案为：.
14. 已知函数的最小正周期是3.则___________的对称中心为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正切的周期求出，利用整体法求出对称中心即可.
【详解】解：函数的最小正周期是3，
则，得，
所以函数，
由，
得，，
故对称中心为.
故答案为：；.
【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.
15. 已知，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.
【详解】，，，
由，，
得，
所以
.
故答案为：
16. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.
【详解】由解析式得大致图象如下图所示：

由图可知：当时且，则令，解得：，
，又，，
，
令，则，
，即.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 已知集合或，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简，根据并集的概念可求出结果；
（2）转化为是的真子集，再根据真子集关系列式可求出结果.
【小问1详解】
当时，或，
由，得，所以，
所以或.
【小问2详解】
若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，
故，解得.
18. 已知
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；
（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.
【小问1详解】
【小问2详解】
由（1）易得，
所以
19. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】（1）
（2）时有最小值，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
【小问2详解】
①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值以及取到最大、最小值时的值．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）当时，取得最大值为；当时，取得最小值为
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，然后求得函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.
【小问1详解】
.
所以的最小正周期，
由，
解得，所以的单调递增区间是.
【小问2详解】
当时，，
所以当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为.
21. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图象上．
（1）若，求的值
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出过定点坐标，再代入中求出，即可得到，再换元解得；
（2）首先求出，依题意可得在区间上恒成立，令，，则，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
函数，当时，，则函数图像恒过定点，
又在函数图象上，即，解得（负值舍去），
则，由，则，
令，则， 即，即，
，，即，解得；
【小问2详解】
因为，
则区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，则，函数的对称轴为，
①，即，在区间上单调递增，
，则，又，；
②，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则，又，所以无解；
③，即，在区间上单调递减，
，即，又，无解；
综上所述，实数的取值范围为．
22. 已知且是上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围；
（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，正整数或2.
【解析】
【分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式；
（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；
（3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根据，从而只需求即可.
【小问1详解】
∵是上的奇函数，∴，
由，可得，，
∵，∴，，所以.
又，所以为奇函数.
所以.
【小问2详解】
因为，所以在上单调递增，
又为上的奇函数，
所以由，得，
所以，即恒成立，
当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意；
当时，要满足题意，需，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，
又，为奇函数，
所以的图象关于点对称，所以，，
所以
，
因为，所以，即.
故存在正整数或2，使不等式有解.