[数学]2023_2024学年浙江宁波镇海区宁波市镇海中学高一上学期开学考试数学试卷(创新班选拔)(原题版+解析版)

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2023~2024学年浙江宁波镇海区宁波市镇海中学高一上学期开学考试数学试卷（创新班选拔）
1. 已知
，则 的值为
.
答案
解析
【分析】
变形给定等式即可得解.
【详解】
由
，得
，
，整理得
，
所以
.
故答案为：
2. 已知一圆锥的主视图和俯视图如图所示，则该圆锥的侧面积和侧面展开图的圆心角分别为
.
答案
解析
；
【分析】
根据题意，得到圆锥的底面圆的半径和母线，设侧面展开图的扇形所在圆的圆心角为 ，结合弧长公式，列出方程，即可求解.
【详解】
根据给定的圆锥的三视图，可得圆锥的底面圆的半径为
，高为 ，则母线长为
，
，
可圆锥的侧面积为
，底面圆的周长为
设侧面展开图的扇形所在圆的圆心角为 ，则
，可得
，解得
.
故答案为：
；
.
3. 如图中，
的半径为20，则阴影部分的面积为
.
答案
解析
200
【分析】
由图可知弓形
积，求解即可.
【详解】
由已知
的面积等于扇形
的面积减去
的面积，所以阴影部分的面积等于以
为半径的半圆的面积减去弓形的面
，所以
，
，
所以
，扇形
的面积为
，
所以阴影部分的面积为
故答案为：200.
.

4. 已知二次函数
恒非负，
，
，则
的最小值为
.
答案
解析
【分析】
根据题意，由二次函数恒非负可得
【详解】
的不等关系，然后将原式化简，结合基本不等式代入计算，即可求解.
由于二次函数
恒非负，所以
，所以
，
且
，则
，则
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为 .
故答案为：
5. 如图，在
中，
，
，点
分别在边
上，且
，
四点共圆，则该圆的半径为
、
.
、
、
、
、
答案
解析
/
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到
，然后利用勾股定理求
【详解】
，
，根据
得到
，根据
得到
即可得到该圆的半径.
过点 作
因为
交圆于点 ，连接
交
于点 ，连接
，
，所以
，所以
为直径，所以
，
，
，
因为
因为
，所以
，
，
所以
，所以
中，
在
和
，
（同弧所对的圆周角相等），
，则 ，
所以
所以
，所以
，
所以该圆的半径为
.
故答案为：
.
6. 如图，在矩形
的长为
中，
，
，
为
中点，将四边形
沿
折叠为
，
共线，
共线，则
.

答案
解析
【分析】
过
作
，过点
作
，设
作
，利用勾股定理得到
，则转化为经典的“3,4,5”直角三角形，
最后再利用射影定理即可.
【详解】
过
作
，垂足为 ，过点
，与
交于点
于是
于是
，由
可得，
，设
，
于是
在
，
中使用勾股定理
，解得
，
记
，
在直角
于是
中，由射影定理，
，因为
，
，所以
，则
于是
，因为
，
，
因为
因此
，所以四边形
为平行四边形，
.
故答案为：
.
7. 已知
为正方形，其内分别有长宽为 和 的矩形、边长为 的正方形，矩形 的面积的所有取值之和为
.
（
为正整数且互质），则
答案
解析
【分析】
先将每个矩形的顶点标上字母，然后求出必要的几何量，再设出右上角的直角三角形的两条直角边长，并列方程求解，最后通过解出
的边长求出所有可能的面积，即可得到结果.
【详解】

如图，将三个矩形的顶点按图中所示标出字母，并分别过
三点按图中所示像大正方形的边作垂线，垂足分别为
.
设
，由几何关系可知：
，
.
从而
，
.
所以
故
，得
，从而
，且
，
.
，
，
，
.
故
，
.
，
由于
，
.
，
，故
全等于
，所以
，
，
设
，则
.
由于
相似于
，故
，即
，化简得到
.
同时，有
，即
.
所以有
再由
，
，将第一式代入第二式得
.
，解得
或
.
即知
或
而矩形 的面积
.
分别代入即知，矩形 的面积
或
.
所以
，故
，这就得到
.
故答案为：
【点睛】
.
关键点点睛：本题的关键点在于，利用直角三角形制造的互余关系下的相似三角形，可以得到相似比关系，从而求得相应线段的长度.
8. 已知9个正整数的中位数和平均数均为9，众数为1，则其中最大数的最小值为
.
答案
解析
【分析】
根据题意，由条件可得前5个数是
【详解】
，当后4个数是连续的4个正整数时，最大的数最小，即可得到结果.
因为中位数是9，所以将这9个正整数从小到大排列，第5个数是9，
因为众数为1，所以1至少有2个，
要使这列数的最大数最小，则其他8个数要尽量大，
所以前5个数是
，所以后4个数的和为
，
当后4个数是连续的4个正整数时，最大的数最小，
设最后一个数为 ，则
，解得
，
因为
，则
.
故答案为：

9. 抛物线
向右平移2个单位，向上平移1个单位，恰好过坐标原点，则 的值为
.
答案
解析
或
【分析】
直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，代入原点即可求解.
【详解】
将抛物线
向右平移2个单位，向上平移1个单位，
得到的解析式为：
所以
，
，
因为抛物线过坐标原点，
所以
，解得
或
.
故答案为： 或 .
10. 将一长方形折叠后恰好如图所示，则梯形
的面积为
.
答案
解析
/
【分析】
根据折叠和平行得到三角形
求面积即可.
和三角形
为等腰三角形，即可得到
的长度，根据勾股定理和等面积得到梯形的高，然后
【详解】
如图，过点 作
由题意得
因为四边形
所以
于点 ，
，
为梯形，所以
，
，
所以三角形
同理可得，
因为
为等腰三角形，
，
，
，所以
，
根据等面积的思路得到
所以
，所以
，
.
故答案为：
.
11. 如图，已知
，则
为等腰三角形，
.
，
为
的直径，
交
于点
，
，
交
于点
，
、
，
、
的长为
答案

解析
【分析】
连接
，根据已知条件证明
相似于
，
，得
，即可求
的长.
【详解】
如图所示，连接
,
因为
且以
所以
所以
又因为
所以
因为
所以
即
为等腰三角形，
为直径的圆交 于 ，
，即 为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
即
相似于
又因为
所以
，
，
所以
.
故答案为： .
12. 已知在
中，
，
，
，点
分别在边
上，
为
的中点，则
的最小值为
.
、
、
答案
解析
10
【分析】
在
中，由勾股定理求得
中，
，再根据三角形三边关系及三点共线求得
，
的最小值.
【详解】
在
当 、 、 三点不共线时，在
当 、 、 三点共线时，
中，
；
，
此时 与 重合， 与 重合， 为
的中点.
所以
的最小值为
.
故答案为：10.
13. 如图，正方形
的顶点
分别在 、 轴上，点 坐标为
过点 且与
，将四边形
翻折至
的长为
，点 在边
上，
与
相交于
、
点
，
四边形
四边形
，反比例函数
相交于点 ，则
.

答案
解析
1
【分析】
如图，由对称图形的特征可得
，根据题意和梯形的面积公式、中点公式可得
，进而可得
，求出
，利用相似三角形的性质求得
【详解】
，即
，由
求得
，即可求解.
如图，取
的中点 ，连接
，则
，
连接 ，交
于
，则
，
设
，则
，
因为 四边形
，所以
，即
，
，
四边形
四边形
解得
设
，所以
，则
，则
，解得
，
即
又
则
为
的中点，故
，所以
.
，所以四边形
为平行四边形，
，
，所以
.
由
，得
，得
，即
，解得
图象上，
所以
，而点 在函数
故
，则
，所以
.
，即
，
所以
故答案为：1
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用面积之比和中点坐标公式求出点M的坐标，进而求得 的坐标，结合相似三角形的性质可得
即为所求.
14. 已知二次函数
(1)若
，且二次函数图象过点
，求二次函数的解析式及顶点坐标；
，求
(2)若该二次函数顶点为
(3)若该二次函数过点
，且过点
；
，且
，
，试比较
的大小.
、
答案
(1)
；
(2) 或
(3)
解析
【分析】
（1）根据题意，列出方程组，求得
，得到函数的解析式，以及顶点坐标；
（2）根据题意，可设抛物线的解析式为
（3）根据题意，结合函数的解析式，求得
，代入点
，
，得到关于
的方程，即可求解；
和
，求

得
的表达式，利用作差比较法，即可求解.
【详解】
（1）由题意知：
，且二次函数图象过点
，解得 ，
，
可得
所以该函数的解析式为
，且函数图象的顶点坐标为
中，二次项系数为 ，
.
（2）因为函数
因为该函数图象的顶点坐标为
，可设抛物线的解析式为
，
又因为
的图象进过另一点 ，
可得
，即
，
，解得
的图象经过点
或
.
（3）因为函数
所以
三个不同点，
，
，
所以
，
，
因为
所以
，可得
.
，
15. 如图，一次函数
与反比例函数
与 轴交于点 .
相交于
两点，点 在第一象限，点 是反比例函数
第一象限上异于点
的一点，
与 轴交于点
，
(1)若
，点 坐标为
为任意正实数，
，
，求证：
是否等于
；
(2)若
？
(3)已知
，点 坐标为
，求 .
答案
解析
(1)证明见解析
(2)是，理由见解析
(3)
【分析】
（1）先将两个函数图象联立，解出
和
的坐标，然后通过解方程组的方法求出直线
和
的解析式，并得到
和 的坐标，最后
根据坐标验证
即可；
，然后采取与（1）完全相同的方法即可证明
（2）设 的坐标为
；
（3）根据（2）求出的各点坐标，可从每个已知条件分别得到关于
的一个方程，然后对方程进行代数变形，将 用已知的表达式
表示，即可求出 .
【详解】
（1）由
设直线
可知
，再由
，则代入这两个点的坐标可得
，令 ，得
，令
，联立
，解得
，
.
的解析式为
的解析式为
，解得
.
所以直线
，所以
，
.
类似可以求出直线
的解析式为
，
，得
，所以
.
由
，
，可知
.
所以
.
（2）设
设直线
，联立
，解得
，
.
的解析式为
的解析式为
，则代入这两个点的坐标可得
，解得
.
所以直线
，令
，得
，所以
.

类似可以求出直线
的解析式为
，令
，得
，所以
.
由
，
，
，可知
，
.
所以
.
（3）由于
而
，故
.
，故
.
之前已经求得
现在由已知有
，
，
，
，
.
，故
.
同时我们有
.
而
，故
.
所以
.
故我们最终得到：
从而
，
，
.
，
得
，即
.
所以有
.
综上， 的值为
.
16. （1）如图，已知在
中，
， 为内心，
分别在边
上，且
过 ，
，
，
，求
的长；
（2）如图，已知在等腰
中， 是边
上一点，
，
是
上一点，
，
延长线交
于点 ，求
的值.
答案
解析
（1）37；（2）
【分析】
（1）过点 分别作
的垂线，记垂足为
的外接圆，记 与外接圆交于点
.设
，用两种方法表示出三角形
的面积从而建立方程即可求解；
（2）作出
与
交于点 ，与外接圆交于点 .结合相似三角形的性质以及赛瓦定理即
可得解.
【详解】
（1）过点 分别作
的垂线，记垂足为
.

由题设，易知
为等边三角形，则有
，则
，
设
，则有
，
因为
在
上的高
，
由等面积法，于是
，
解得
，于是
.
（2）作出
的外接圆，记
与外接圆交于点
与
交于点 ，与外接圆交于点 .
因为
显然
所以
，结合
，
为平行四边形，于是
，
，
，
结合同圆中圆周角相等，对应弧、弦相等，则
，
，
，
由上，
，
，进而有
由题意，易知
为直径，且 \displaystyle{\verset{\verparen }{GP}=\verset{\verparen }{AC}} ，则
，
，
同理有
所以
，
，
，
，
由
且
，所以
.
由赛瓦定理有
，即
，因此
.
17. 如图，点
在
、
上，
.
、
(1)求证：
(2)作
；
，延长
交
于点 ，求证：
；
(3)在（2）的条件下：
①已知
，后面条件不全，征集中，联系人QQ:2853279698。
答案
解析
题干、答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!
【详解】
题干、答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698