精品解析：河南省郑州市第八十六中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题含答案

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1. 在3.14，，，，，，3.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，在3.14，，，，，，3.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数是，，，3.14114111411114．．．（后面依次多个1），共4个；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
2. 如果点是直角坐标系中轴上点，那么点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标系中点的特征，根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴点坐标为；
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．根据平方根与立方根的意义判断即可．
【详解】解：选项A.，故不符合题意，
B. ，故不符合题意，
C. ，故正确，符合题意，
D. ，故不符合题意，
故选：C
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 负数没有平方根也没有立方根D. 算术平方根一定是正数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意；
C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意；
D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 若中、、的对边分别是a，b，c，下列条件不能说明是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
【详解】解：A．，
，
，
所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，
，
，
，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于是解此题的关键．
6. 若一次函数（为常数且）满足如表，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解．
【详解】由表格可得：当时，，
方程的解是
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b=0的解为函数值y=0时函数y=ax+b自变量x的取值．
7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
故选：．
8. 对于一次函数，下列结论正确的有（ ）
函数的图象不经过第三象限；
函数的图象与轴的交点坐标是；
函数的图象向下平移4个单位长度得的图象；
若两点，在该函数图象上，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的和的符号结合一次函数的图象和性质，来判断是否正确．
【详解】解：由可知：，
直线经过一、二、四象限，故正确；
当时，，解得，
函数的图象与轴的交点坐标是，故正确；
函数的图象向下平移4个单位长度得：，即故正确；
，
随的增大而减小，
，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象和性质，解题的关键是根据和的符号来判断直线经过第几象限，会求直线与坐标轴的交点．
9. 如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，那么的值为（ ）

A. 36B. 25C. 16D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．先求出四个直角三角形的面积，再根据直角三角形的边长求解即可．
【详解】解：∵大正方形面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是，即，
即，，
∴．
故选：B．
10. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．下列说法错误的是（ ）
A. 甲车的速度为B. B、C两地之间的距离；
C. 后乙追上甲D. 当两车相距40千米时，甲车行驶了或．
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系．A、B、根据题意，结合图象列式计算即可；C、设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程=乙行驶的路程，列出方程解答便可；D、利用待定系数法分别求出时，，时函数关系式，再列方程解答即可．
【详解】解：甲车的速度为，故选项A正确，不符合题意；
乙前面的速度为：，
乙后来的速度为：，
，
则B、C两地之间的距离为，故选项B正确，不符合题意；
设乙t小时追上甲，
根据题意得，
解得，
则出发后乙追上甲，故选项C正确，不符合题意；
当时，两车距离小于40，
①当时，
设甲距离A地距离与出发时间之间的关系式为，
代入可得，
，
，解得；
②当时，
由（1）可得，A、B两地之间的距离为：，
设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为，
代入和，
得，解得：，
，
解方程得（不合题意，舍去），
解方程得；
③当时，
解方程得，
当两车相距40千米时，甲车行驶了或或，故选项D错误，不符合题意．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：在实数范围内有意义，
则；解得
故答案为
12. 在平面直角坐标系中，一块正方形纸板按如图位置放置，已知点坐标为点坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，过点作轴，证明，进一步求出点的坐标即可．
【详解】解：∵点坐标为点坐标为，
∴，
过点作轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 一次函数与的图象的交点的横坐标是2，则方程组的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为2，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
【详解】解：由题意，∵一次函数与的图象的交点的横坐标是2，
∴交点的纵坐标为，
则方程组的解为，
故答案为：．
14. 规定：．例如下列结论中，①若，则；②若，则，③能使成立的x的值不存在；④式子的最小值是7，其中所有正确的结论是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】此题考查了函数值，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．
【详解】解：①若，即，
解得：，
则，符合题意；
②若，则，符合题意；
③若，则，即或，
解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；
④式子的最小值是7，符合题意．
正确的所有结论是：①②④．
故答案为：①②④．
15. 如图，在长方形中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理；分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，
矩形中，，
，
由折叠性质可得：
，，
，
，
、、三点共线，
，
设则，，
在中，
，
，
解得，
；
如图，当时，
，
由折叠性质可得：
，，
四边形为正方形，
，
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式减法运算，二次根式的混合运算．掌握二次根式性质化简二次根式，乘法分配律，二次根式的减法运算法则，二次根式的混合运算顺序，是解题的关键．
（1）先化简二次根式，然后再根据二次根式的减法运算计算即可；
（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法与加法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出．
（2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标．
（3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据描点，连线，画出即可；
（2）找到、、关于轴对称的对应点，连线得到，写出各顶点坐标即可；
（3）根据的面积等于，进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：即为所求：
由图可知：；
【小问3详解】
解：∵为轴上一点，、
∴，，
∴，
∵，
∴点的横坐标为：或；
∴或．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
18. 在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．
（1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）小男孩需向右移动的距离为米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出的长，然后根据即可求解．
【小问1详解】
解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
故答案为：；
【小问2详解】
连接，
∵点B在直线上，
∴点A、B、F三点共线，
，米，米，米，
在中，米，
（米），
在中，米，
，
米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
19. 郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【答案】（1）21，3000；（2）每棵树苗的原价30元；（3）y2=27x，k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2=k2x，并说明k2的实际意义；
（4）将x=600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】解：（1）由图象可得，
函数y1=k1x+b1，过点（0，3000），（200，7200），
则，
解得：，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7=30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9=27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x=0时，y2=0，
∴y2=27x，
k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y1=21x+3000，y2=27x，
当x=600时，
y1=21×600+3000=15600，y2=27×600=16200，
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
20. 为更好地落实“双减”要求．提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．
（1）七（1）班准备统一购买新的足球和跳绳．请你根据下图中班长和售货员的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
（2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个和跳绳b根，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
【答案】（1）足球单价为100元，跳绳单价为20元
（2）有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条
【解析】
【分析】（1）设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意列出方程，然后根据若1800元全买足球，可求出，从而得到a取16，17，18，19，20，21，22，即可求解．
【小问1详解】
解：设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意得∶
，解得：，
答：足球单价为100元，跳绳单价为20元；
【小问2详解】
解：
若1800元全买足球，（个）
∴，
∵a，b均为正整数，
∴a取16，17，18，19，20，21，22，
当时，（不合题意，舍去）
当时，（不合题意，舍去）
当时，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，（不合题意，舍去），
当时，，
当时，（不合题意，舍去）
综上所述：有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
（1）请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
（2）当时，求空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）13
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：，
即最后化简为；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；
根据面积相等，得：，
化简最后结果是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：空白部分的面积为：，
当时，原式．
22. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx＋3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2. 当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，；
①直接写出OA＝ ，OB＝ ；
②求点E的坐标；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，当时，直线与y轴交于点D，点P（n，－2）、Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（3，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）①2，3；②（3，5）
（2）△OBN的面积为定值
（3）点Q的坐标为或（4，﹣5）
【解析】
【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；
②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；
（2）由点A随之在x轴负半轴上运动时，可知，过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．
【小问1详解】
解：①若，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x=2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，OB＝3，
故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，
∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△BED≌△ABO，
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝OB+BD＝5，
∴点E的坐标为（3，5）；
【小问2详解】
当k变化时，△OBN的面积是定值，，理由如下：
∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，
∴，
过点N作NM⊥OB于M，
∴∠NMB＝∠AOB＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∵BN⊥AB，
∴∠ABN＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
又∵BN=BA,∠NMB=∠AOB=90°，
∴△BMN≌△AOB．
∴MN＝OB＝3，
∴，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，；
【小问3详解】
当n＜3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴∠CSP＝∠PTQ＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
又∵PC=PQ,∠CAP＝∠PTQ＝90°，
∴△PCS≌△QPT．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，
∴ST＝5﹣n，
∴点Q的坐标为（2+n，n﹣5），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，
解得： ，
∴点Q的坐标为；
当n＞3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴∠CSP＝∠PTQ＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
又∵PC=PQ,∠CAP＝∠PTQ＝90°，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，
∴ST＝n﹣1，
∴点Q的坐标为（n﹣2，1﹣n），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，
解得：n＝6，
∴点Q的坐标为（4，﹣5）．
综上，点Q的坐标为或（4，﹣5）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．