2026年高考数学压轴专项训练压轴题07导数压轴大题不等式证明(原卷版+解析)

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压轴题型一：无限和裂项型数列不等式证明
1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：且）
(3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
3．已知函数，，
(1)求函数的单调区间及最值；
(2)若对任意，有成立，求的取值范围；
(3)求证：.
压轴题型二：累积型数列不等式证明
1．已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
(3)在（2）的条件下，证明：
2．已知函数，．
(1)求函数的最值；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)证明不等式：．
3．已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
压轴题型三：三角函数型不等式证明
1．已知函数．
(1)求的极值；
(2)已知，证明：．
2．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)求证：．
3．已知函数．
(1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
(2)证明：．
压轴题型四：凸凹翻转证明不等式
1．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)证明：；
(3)证明：．
2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，求证：时，成立.参考数据.
3．已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
压轴题型五：零点不等式证明
1．已知函数.
(1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.
(2)若函数存在两个零点，设
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：.
2．已知函数，，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)设函数，且，是的两个零点.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：.
3．已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)证明：，；
(3)若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：．
压轴题型六：同构型不等式
1．已知函数在上没有极值.
(1)求实数的取值范围；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
2．已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
3．已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明：.
压轴题型七：双变量比值代换型
1．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
2．已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，不等式恒成立，求a的值；
(3)若实数m，n满足，证明：.
3．已知函数.
(1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.
(2)若函数存在两个零点，设
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：.
压轴题型八：双变量不等式和差换元型
1．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
2．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
3．已知函数，其中．
(1)当时，讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有．
压轴题型九：双变量不等式韦达定理型
1．已知函数（）
(1)当时，讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点
①求的取值范围
②证明：
2．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，求证：．
3．已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)当时，记，证明：当为锐角时，；
(3)若函数有两个极值点、，且，证明：.
总论
一、导数证明不等式，核心思维有两个方向：
构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立。。
利用函数不等式来放缩。涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）、先放缩再求和证明；
（2）、先求和再放缩证明。
所以证明的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
二、不等式证明的“借式子”思维：
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配。
其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系是。

利用数导数证明数列不等式方法
常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.
特别是对于“无线和与无线积”型，可以适当的联想数列递推公式的裂项法，或者通过适当的取对数，把积转化为和的形式来证明。

√满分技法
证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设，
则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
√满分技法
累加列项相消证明法
证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型
这样一来，设，
则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型
√满分技法
对于含有三角函数型不等式证明：
1.证明思路和普通不等式一样。
2.充分利用正余弦的有界性
3.三角函数与函数的重要放缩公式：.
√满分技法
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.
√满分技法
三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化．证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一个变量表示，第二步构造新函数，证明的最小值，第三步由导数求得极小值点的范围，并对变形，第四步换元，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决．
√满分技法
常见同构技巧：
√满分技法
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数