2026年高考数学压轴专项训练压轴题10向量综合(原卷版+解析)

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压轴题型一：压轴思维：等和线
1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）.
A．1B．C．D．
压轴题型二：压轴思维：建系与三角换元
1．已知向量满足，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ）
A．B．40C．64D．
4．已知，向量满足，则的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
5．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．D．
压轴题型三：等和线综合
1．已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ）
A．5B．6C．9D．10
2．在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
4．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型四： 三角形向量重心
1．已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则
2．在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为 ．
3．设G是△ABC重心，且，则 ．
4．在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝ ．
5．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．

压轴题型五：三角形向量外心
1．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为 ．
2．已知中，点满足，且，点是的外心，则 ．
3．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形的边上，，记点为的外心，若，则的最大值为 .

4．在中，，为的外心，且有，，若，，则 ．
5．设为的外心，，，分别为，，的对边.（1）若，，则 .（2）若，则的最小值为 .
压轴题型六： 三角形向量内心
1．等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ．
2．已知点为的内心，，若，则 ．
3．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
4．已知G为的内心，且，则 ．
5．如图，已知边长为2的正方形内有一点，满足，则的最小值是 ，过作，为的内心，则的最小值是 .
压轴题型七：三角形向量垂心
1．若为的垂心，，则＝ ， ．
2．已知为的垂心，且，，，，则 .
3．在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
4．设H是的垂心，且，则 .
5．已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
压轴题型八： 向量几何意义型解题：点域
1．如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，A、B分别是射线上的两点，给出下列向量：①;②；③；④；⑤这些向量中以O为起点，终点落在阴影区域内的是 （填序号）．
4．如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是
5．如图所示，已知，由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）．已知下列四个向量：①；②；③．
对于点、、落在阴影区域内（不合边界）的点有 ．（把所有符合条件的序号都填上）
压轴题型九：向量几何意义型解题：加减法几何意义
1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A．B．C．D．
2．(多选）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
3．在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 .
4．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
5．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
压轴题型十：数量积型范围最值
1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A．B．C．D．
2．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则（ ）
A．8B．9C．10D．11

压轴题型十一：向量与压轴第19题交汇
1．设，集合（为向量），若，定义.
(1)若，且，写出所有的；
(2)若，且，设满足的的个数为，求的值；
(3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望.
2．已知a，b，c为三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
(1)求中高的长度；
(2)若的角平分线交于E，求证；
(3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．
3．从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记.
(1)证明：；
(2)已知向量，求的坐标表示；
(3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积；
②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积.
4．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为.
(1)设，为空间中任意取定的一点，求证：；
(2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值；
(3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：.
1.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.
2、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角.
说明：①当时，与同向；
②当时，与反向；
③当时，与垂直，记；
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为.
3、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().
规定与任何向量的数量积为.
说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)，.
(4)在实数中，若，且，则，
但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.
(5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出，
如图：，
，但.
(6)在实数中有，但是在向量中，
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
4、向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
5、向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
6.线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得.
重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点，
则.
证明：，则，
则.
√满分技法
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
√满分技法
如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值
√满分技法
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
基本不等式的变形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
形如，求值或者范围，有如下思维：
如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
√满分技法
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为垂心，则.
√满分技法
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为外心，则；
√满分技法
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为内心，则；
√满分技法
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为垂心，则.
√满分技法
形如加减法，可以转化为点到线得距离。
√满分技法
新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.