专题07 椭圆性质及应用 （期中专项训练）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教版A

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题型一、椭圆定义与离心率 （共2小题）
1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可.
【详解】
由可得，由图知，，
则的面积为，
解得，则椭圆的离心率为.
故选：A.
2．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形性质把用表示后，利用椭圆的定义得出的关系式，整理后可求得离心率.
【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为，
所以．
又由椭圆的定义可知，，因此，
可得，即，所以或（舍去），
故选：C．
题型二、通径与离心率 （共2小题）
3．（21-22高二上·北京·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义及离心率公式即可求解.
【详解】因为，,
所以,可得.
在中，.
由椭圆的定义可得，故，
所以，所以.
故选:A.

4．（19-20高二上·四川成都·期中）设、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出图形，推导出轴，并设，用表示和，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】如下图所示：
设线段的中点为点，连接，则轴，
、分别为、的中点，，所以，轴，
设，，则，，
由椭圆的定义可得，因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
题型三、中点弦 （共2小题）
5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.
【详解】设，
因为为线段的中点，所以，
由，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，则，即椭圆的焦点在轴上，
即，则，
所以.
故选：B.
6．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可.
【详解】设，则且，
故，故，即，
故，又，所以，所以，所以，即，
因此椭圆的短轴长为.
故选：B
题型四、第三定义 （共2小题）
7．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】设点，则，且，可得，
易知、，
所以，，
所以，，可得，
故.
故选：D.
8．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围.
【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则，
若，则，
所以椭圆离心率.
故选：A
题型五、焦点三角形与余弦定理 （共2小题）
9．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的平分线交于点D，设先求出，可得，再利用椭圆的定义，结合余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】设的平分线交于点D，设
则，
所以，
而
设，则，于是﹐
所以，
在，由余弦定理可得：﹐
则，则，
所以椭圆离心率，
故选：C．
10．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【详解】设，，则，
在中，，
所以，得，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
题型六、焦半径型最值 （共2小题）
11．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值.
【详解】设，则，，，
，
因为，所以，又，
所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，
又，故解得.
故选：D.
12．（19-20高二上·江苏常州·期中）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：A
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
题型七、双底角型焦点三角形 （共2小题）
13．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
【答案】D
【分析】利用联想到正弦定理，结合椭圆定义找到的关系式，从而求得离心率的范围.
【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建的等式；求解离心率的范围时，一般是构建的不等关系.
14．（19-20高二上·西藏林芝·期末）设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可求的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，则.
在中，由正弦定理有，
所以，故，
整理得到.
故即.
故选：A.
【点睛】一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则，因，故可以用正弦定理、余弦定理求解与焦点三角形的边角有关系的数学问题.
题型八、双余弦定理型焦点三角形 （共2小题）
15．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可.
【详解】因为，设，如图所示，
由椭圆的定义可知，，则，
同理，则，
因为，则，
则，化简可得，
则，则（舍去）或，
所以，所以为椭圆的上（或下）顶点，
又，
所以在中，，解得，即.
故选：A
16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取椭圆的左焦点，连接，，，由题可知四边形为矩形.设，则，由椭圆的定义知，，.在和中，利用勾股定理联立方程组即可求解.
【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形.
又，所以四边形为矩形.设，则，
由椭圆的定义知，，.
在中，，即，得；
在中，，即，
所以，所以椭圆的离心率为.
故选：D.
题型九、焦点三角形：内切圆 （共2小题）
17．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，，，设内切圆的半径为，根据等面积法得到，即可得到的最大值，从而求出，即可求出椭圆的离心率；
【详解】解：由椭圆，可得，，，则，
如图，
设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
18．（23-24高三·山西·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于．若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题意,证明得到三角形为等边三角形,对三角形运用余弦定理,计算离心率,即可.
【详解】
结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质
,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到
,解得,故选D.
【点睛】本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难.
题型十、a、b、c型离心率 （共2小题）
19．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，利用距离公式列方程化简得，即可求解离心率.
【详解】由题意，，，则，
直线方程为，即，
与椭圆E：联立消y得，所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，所以，
即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）.
故选：B
20．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，进而求得点的坐标为，由题设建立方程可得，进而求解即可.
【详解】设点的坐标为，有，得，
点的坐标为，点的坐标为，则直线的斜率为，
可得直线的方程为，代入，
可求得点的坐标为，
而直线的斜率为，直线的斜率为，
有，
可得，即，则，即，
则.
故选：D.
题型十一、焦点四边形型离心率 （共2小题）
21．（24-25高二上·宁夏·阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.
【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，
所以|AB|=|FF′|=2c，|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a，
由∠ABF=α，可得|AF|=|AB|⋅sinα=2csinα，|BF|=|AB|⋅csα=2ccsα，
∴2csinα+2ccsα=2a，即ca=1sinα+csα=12sin(α+π4)，
∵α∈[π12,π4]，∴(α+π4)∈[π3,π2]，
∴sin(α+π4)∈[32,1]，∴2sin(α+π4)∈[62,2]，
∴e=ca∈[22,63].
故选：A.
详解片段
【点睛】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单性质的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
22．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.
【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，
由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形.
因为，设，，
则，，
所以，，
在中，，即，
解得，或（舍去），所以，，，
在中，由勾股定理可得，即，
整理可得，解得.
故选：C.
题型十二、焦点圆 （共2小题）
23．（21-22高三·江西·阶段练习）如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用直线的倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，
所以，又由题意，即，
故，即
因为直线倾斜角不小于，
所以直线的倾斜角不小于，
则，化简可得，
因为，
所以，
则，
又，所以，
故，
解得，所以，
综上
故选：．
24．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量可得，代入运算求解即可.
【详解】因为，
则，
即，可得，
所以C的离心率.
故选：A.
题型十三、椭圆切线 （共3小题）
25．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为
【答案】
【分析】证明出直线的方程为，求出点的纵坐标，设直线与直线的交点为，求出点的纵坐标以及的值，结合中位线的性质可得出，由此可知在以点为圆心，半径为的圆上运动，可得出点到轴距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】设点，其中，先证明出直线的方程为，
联立可得，则，
所以，直线的方程为，即，
在椭圆中，，，则，可得、，
因为，则直线的方程为，即，
联立，解得，即
易知直线的方程为，设直线与直线的交点为，
联立可得，即，
因为
，
故点为线段的中点，
因为，由中垂线的性质可得，
所以，，
连接，因为为的中点，则，
即点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故点到轴距离的最大值为，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的中点，结合中位线的性质得出点的轨迹，进而求解.
26．（24-25高二上·浙江宁波·期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为 .
【答案】.
【分析】由切线方程求得与坐标轴的两交点坐标，利用基本不等式可得当时面积取得最小值，再根据余弦定理计算可得，再由等面积法可知，可得，可求得离心率.
【详解】由题可知满足，
切线与两坐标轴交点为，如下图所示：
易知的面积为，又，
即，因此，
当且仅当示，即时，等号成立；
又因为，
即，解得；
易知的面积为，
又，
即可得，所以，
可得，所以.
即C的离心率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用基本不等式求得面积最小时的交点坐标，再由余弦定理由三角形面积公式计算得出的关系式，可求得离心率.
题型十四、小题大作：韦达定理型 （共2小题）
27．（2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论.
【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，，
，则；
当直线的斜率不为0时，
故可设直线的方程为，由消去，整理得，
设，，所以，，
由得，
，
，，
，
即，．
故选：B．
28．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得为的中点，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由为的中点可得，利用弦长公式求出，表示出，根据，判断求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，
所以的面积为，
由，可得为的中点，所以，
因为点在椭圆上，所以，所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去得，，
，
设，，则，，
，
所以点坐标为，
因为点在椭圆上，所以，
因为原点到直线的距离为，
，
所以的面积为
，
综上，，又，
又，
所以当时，的面积最大.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由可得为的中点，由此得到，将此关系代入并化简可将表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.
题型十五、椭圆：三角换元型 （共2小题）
29．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率.
【详解】由题设，令，故，，
所以，故①，
由，令，则，
由，则，
所以，整理得，
由，则，
所以，整理得，
所以，整理得②，
联立①②，得，，故，即，
所以.
故选：D
30．（24-25高二下·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可.
【详解】由题意得椭圆的参数方程为，
如图，故设，，，
则，，
因为，所以，，
解得，故，
因为点B关于原点O的对称点为，所以，
则，，
因为，所以，
故，
化简得，
则，
将代入椭圆方程，
得到，化简得，
把代入中，
得到，同除可得，解得或（舍去）.
故选：B
题型十六、 综合应用 （共2小题）
31．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率.
【详解】设，而，
因为，故，
即，
所以，则，
又都在椭圆上，
故①，且，
即②，
①②两式相减并化简得：，
即③，
同理可得：④，
④－③得：，
所以，
因为，所以直线l的斜率为.
故选：D
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
32．（2023·全国·模拟预测）椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，设出切线方程并与椭圆方程联立求出轨迹T的方程，再探求取最大值的情况求解作答.
【详解】设，过点的椭圆的切线的斜率都存在时，
设切线方程为，其中分别为的斜率，
由消去y得：，
则，即有，又，
于是，显然，是这个方程的二根，
有，令直线的倾斜角分别为，有，
又，
即，即有，
，整理得，
而当时，或，此时有或，
即，满足，
因此点P的轨迹T的方程为，
由与联立，整理得：
，
于是当时，有最大值，因此，
整理得，解得，则半焦距，
所以E的离心率.
故选：B
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
题型1 椭圆定义与离心率（重点）
题型9 焦点三角形：内切圆
题型2 通径与离心率
题型10 a、b、c型离心率 （重点）
题型3 中点弦
题型11 焦点四边形离心率（常考点）
题型4 第三定义
题型12 焦点圆
题型5 焦点三角形与余弦定理（常考点）
题型13 椭圆切线（难点）
题型6 焦半径型最值
题型14 小题大做：韦达定理型
题型7 双底角型焦点三角形
题型15 椭圆：三角换元型
题型8 双余弦定理型焦点三角形（难点）
题型16 综合应用