专题06 抛物线（期中复习讲义，12大核心题型）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教版A版

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知识点01 抛物线的定义
1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线集合表示：．
3、要点辨析：
（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，
而是过点F垂直于直线l的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，
故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
知识点02 抛物线的标准方程
1、抛物线四种标准方程
注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；
（2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,
若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),
若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);
（3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,
若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),
若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).
（4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
知识点03 焦半径公式
1、焦半径的定义
设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．
2、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线，．
（2）抛物线，．
（3）抛物线，．
（4）抛物线，．
注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．
知识点04 抛物线的几何性质
1、抛物线的几何性质
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比较
知识点06 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
知识点07 直线与抛物线相交弦长问题
1、直线与抛物线相交弦长问题
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2）中点弦斜率：,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
（3）中点弦直线方程：直线的方程为．
知识点08 抛物线的焦点弦性质
1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
2、焦点弦的常考性质
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1、,.
性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则.
注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.于是，若恒过定点.
性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切.
（2）以为直径的圆与切于焦点；
（3）以焦半径为直径的圆与轴相切；
（4）以焦半径为直径的圆与与轴相切；
题型一 抛物线的定义及其辨析（含焦半径公式）
1．（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ）
A．B．C．5D．3
4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ）
A．2B．C．D．4
题型二 抛物线的焦点与准线
1．（24-25高二上·贵州黔南·月考）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·广东·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型三 抛物线的标准方程
1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·天津河西·月考）准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
5．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．B．
C．或D．
6．已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型四 抛物线的轨迹方程求法
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
2．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ．
6．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
题型五 抛物线中的距离最值问题
1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为( )
A．8B．C．9D．3
2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
4．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．13B．9C．11D．10
6．（24-25高二下·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六 抛物线在实际问题中的应用
1．（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（ ）
A．B．5C．10D．20
2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（ ）
A．B．C．D．
3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A．B．C．D．
题型七 抛物线的简单几何性质
1．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的通径长为（ ）
A．8B．4C．D．
3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（ ）
A．5B．C．8D．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ．
6．（24-25高二上·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ．
题型八 直线与抛物线的位置关系（含弦长和相切）
1．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ．
4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
5．写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 .
6．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
7．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点到其准线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：.
题型九 抛物线中的面积问题
1．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(1)求F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积.
2．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积.
3．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程.
4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若，且在抛物线上，求的最小值；
(3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积.
5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，求弦长的值；
(2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值，
题型十 抛物线中的中点弦问题
1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
2．已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（ ）.
A．4B．C．8D．
3．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
5．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
6．已知抛物线上有两个不同的点，线段的垂直平分线交轴于点，且的最大值为6，则 ．
题型十一 抛物线中的焦点弦问题
1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A．B．2C．D．3
3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·甘肃兰州·开学考试）如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
6．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
题型十二 抛物线中的定值、定点问题
1．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值.
2．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度；
(3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
期中基础通关练（测试时间：120分钟）
1．（24-25高二上·江苏淮安·月考）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ）
A．4B．2C．8D．
3．（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）．
A．B．C．D．
7．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．20B．13C．16D．34
9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50mB．C．55mD．
10．（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A．B．3C．D．4
12．（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
13．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（ ）
A．B．C．D．
14．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
16．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）

A．B．C．D．
17．已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．（24-25高二下·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．2
19．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A．5B．C．D．
20．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ．
22．（24-25高二下·上海·月考）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 .
23．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .
24．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ．
25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
26．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程.
27．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，，
(1)求抛物线的方程及的坐标；
(2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积.
28．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证为定值．
29．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值．
30．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
(3)求证：直线过定点，并求该定点坐标.
31．（24-25高二上·重庆·月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
32．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：．
33．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为．
(1)求C的方程；
(2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
期中重难突破练（测试时间：60分钟）
1．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（ ）
A．B．C．D．8
2．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
3．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ）
A．的准线为
B．的最小值为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若且，则
4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）（多选题）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ）
A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则
B．若，则直线AF的斜率
C．若，则的面积为
D．记，，的面积分别为，，，则
5．（24-25高二下·广西河池·期末）（多选题）已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（ ）
A．
B．的三个顶点到轴的距离之和为
C．的周长小于
D．当点的纵坐标为时，的面积为
6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为
7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动．
(1)求C的方程．
(2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r．
(3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
8．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标;
(3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由．
核心考点
复习目标
考情规律
抛物线的定义及其标准方程
掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养.
基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键
由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养.
基础必考点，常出现在小题
直线与抛物线的位置关系
掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养.
基础必考点，常出现在大题第（1）问
抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养.
重难必考点，利用韦达定理、点差法、抛物线定义突破弦长公式、中点弦、焦点弦问题
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
解｜题｜技｜巧
焦半径问题
1、抛物线，．
2、抛物线，．
3、抛物线，．
4、抛物线，．
解｜题｜技｜巧
由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；
2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
解｜题｜技｜巧
求抛物线标准方程的方法
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或.
解｜题｜技｜巧
求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程.
解｜题｜技｜巧
利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题.
解｜题｜技｜巧
抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论.
解｜题｜技｜巧
1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论.
2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线.
解｜题｜技｜巧
1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例)
设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0.
（1）若a≠0,
当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.