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随机事件与概率课件-2024届高考数学一轮复习
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这是一份随机事件与概率课件-2024届高考数学一轮复习，共39页。PPT课件主要包含了知识梳理，随机事件，样本空间，至少一，不能同，有且仅，有一个，频率与概率，fnA，常用结论等内容，欢迎下载使用。
【课时目标】 理解样本点、有限样本空间、随机事件；会计算古典概 型中简单随机事件的概率；掌握概率的基本性质及事件的交、并运算.【考情概述】 随机事件的概率及其基本性质是高频考点，常以选择题 或填空题的形式进行考查，难度不大.
（1） 样本点、样本空间：随机试验的每个可能的基本结果称为 ，全体样本点的集合称为试验的 ，用Ω表示.如果一个 随机试验有 个可能结果ω1，ω2，…，ω n ，那么称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ω n }为有限样本空间.
注意：样本点的两个特点：① 互斥性；② 可加性.
（2） 随机事件：随机试验中的样本空间的子集称为随机事件，简 称 .只包含一个样本点的事件称为 事件.当且仅当随机 事件中某个样本点出现时，称为事件 .特别地，Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有 一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件.空集⌀不包含任何 样本点，在每次试验中都不会发生，称⌀为不可能事件.
2. 事件的关系与运算
事件 A 的对立事件记为 .
（1） 频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是 否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事 件 A 出现的比例 fn （ A ）＝ 为事件 A 出现的频率.频率是随机的， 不同的试验，得到频率可能不同.
（2） 概率：对随机事件发生的可能性大小的度量（数值）.给定的随机 事件 A ，由于事件 A 发生的频率 fn （ A ）随着试验次数的增加稳定于概 率 P （ A ），因此用 来估计概率 P （ A ）.
注意：① 概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它 度量该事件发生的可能性；② 频率本身是随机的，在试验前不能确 定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率也不一定相同；③ 在实 际问题中，当试验次数足够多时，频率可近似看作概率.
4. 古典概型（1） 古典概型的特征① 有限性：样本空间的样本点只有 个；② 等可能性：每个样本点发生的可能性 .
5. 概率的基本性质（1） 性质1：任意事件 A 的概率的取值范围是 ；（2） 性质2：必然事件Ω的概率为 ，不可能事件⌀的概率 为 ；（3） 性质3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 A ， B 的和事件的概率 P （ A ∪ B ）＝ ；（4） 性质4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P （ A ）＋ P （ B ）＝ ， P （ A ）＝ ；
P （ A ）＋ P （ B ）
1－ P （ B ）
（5） 性质5：如果事件 A 包含于事件 B ，那么 P （ A ） P （ B ）；（6） 性质6：设 A ， B 是一个随机试验中的两个事件，则 P （ A ∪ B ） ＝ .
P （ A ）＋ P （ B ）－ P （ A ∩ B ）
1. 概率加法公式的推广
若事件 A 是多个两两互斥的事件 A 1， A 2，…， An 的和事件，则 P （ A ）＝ .
2. 三个事件和的概率
设 A ， B ， C 是一个随机试验中的三个事件，则事件 A ＋ B ＋ C 的概率 P （ A ＋ B ＋ C ）＝ .
P （ A 1）＋ P （ A 2）＋…＋ P （ An ）
P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）－ P （ AB ）－ P
（ AC ）－ P （ BC ）＋ P （ ABC ）
回归课本1. （1） （RA二P232定义改编）在一次随机试验中，事件 A 和事件 B 包 含的样本点的个数相等是 A ＝ B 的充要条件.（ ✕ ）（2） （RA二P246习题10.1第3题改编）抛掷两枚质地均匀的硬币，样 本空间Ω＝{（正，正），（正，反），（反，反）}.（ ✕ ）（3） （RA二P245练习第2（2）题改编）如果事件 A 与事件 B 满足 P （ A ）＋ P （ B ）＝1，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件.（ ✕ ）（4） （RA二P266小结问题7改编）在随机模拟试验的次数非常多时， 计算结果是事件的概率.（ ✕ ）
2. （RA二教参P336本章学业水平测试题第1题）甲、乙两个元件构成一 并联电路，设 E ＝“甲元件故障”， F ＝“乙元件故障”，则表示电路 故障的事件为（ B ）
3. （RA二P234例6改编） 一个袋子中有除颜色外都相同的4个球，其中2 个红球，2个绿球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 A 1＝ “第一次摸出红球”， A 2＝“第二次摸出红球”， B ＝“两次都摸出红 球”， C ＝“两次都摸出绿球”， D ＝“两个球颜色相同”， E ＝“两 个球颜色不同”，则下列结论错误的是（ C ）
4. （多选）（RA二P246习题10.1第10题改编）抛掷两颗质地均匀的正六 面体骰子，记下骰子朝上一面的点数.设事件 A ＝“两个点数之和等于 8”，事件 B ＝“至少有一颗骰子的点数为5”，则下列结论正确的是 （ ACD ）
5. （RA二P238例9改编）袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中2 个红球、3个黄球.若从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次颜色不 同的概率为 ；若从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次颜色 不同的概率为 .
考点一 事件的关系例1 从标有1，2，3，4，5的卡片中有放回地依次取出两张卡片，并记 下上面标的数，则下列各对事件是互斥事件，但不是对立事件的为 （ A ）
解：“恰有1个是奇数”与“全是奇数”是互斥事件，但不是对立事件. 故A符合题意.“恰有1个是偶数”与“至少有1个是偶数”不是互斥事 件.故B不符合题意.“至少有1个是奇数”与“全是奇数”不是互斥事件. 故C不符合题意.“至少有1个是偶数”与“全是奇数”是互斥事件，且 是对立事件.故D不符合题意.
1. （多选）（2023·遂宁模考）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机 事件： Ci ＝“点数为 i ”，其中 i ＝1，2，3，4，5，6； D 1＝“点数不 大于2”； D 2＝“点数大于2”； D 3＝“点数大于4”.下列结论中，正 确的是（ ABC ）
考点二 概率的性质例2 （1） （2023·广东模考）在一个质地均匀的正四面体木块的四个 面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记 录每次正四面体木块朝下的面上的数字.记事件 A 为“两次记录的数字之 和为奇数”，事件 B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件 C 为“第二 次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ C ）
（2） （多选）某人从甲地到乙地沿某条公路一共行驶20公里，途中遇 到红灯个数的概率如表所示，则下列结论正确的是（ ACD ）
考点三 古典概型例3 （1） 在3张相同的卡片上分别写上3名同学的学号后，再把卡片 随机分给这3名同学，每人1张，则恰有1名同学分到写有自己学号的卡 片的概率为（ C ）
（2） （2022·南通模考）某校举行校园篮球比赛，共有8支队伍报名参 加比赛，比赛规则是先抽签随机分成两组，每组4支队伍，则甲、乙两 支队伍分在不同小组的概率为 .
[变式演练]在3张相同的卡片上分别写上3名同学的学号后，再把卡片随机分给这3 名同学，每人1张，则没有同学分到写有自己学号的卡片的概率 为 .
2. （2022·济南模考）为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，对 街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街 道），洒水车随机选择 A ， B ， C ， D ， E ， F 中的一点驶入进行作 业，则选择的驶入点能够使洒水车不重复地走遍全部街道的概率为 （ B ）
考点四 概率与频率例4 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 y （单位：万千 瓦·时）与该河上游在六月份的降雨量 x （单位：毫米）有关.据统计， 当 x ＝70时， y ＝460； x 每增加10， y 就增加5.已知近20年 x 的值依次为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160， 160，200，140，110，160，220，140，160.
（1） 完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表
（2） 假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相 同，将频率视为概率，估计今年六月份该水力发电站的发电量低于490 万千瓦·时或超过530万千瓦·时的概率.
（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农 产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用 “＋”表示上涨，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示下跌，即 当天价格比前一天价格低；用“0”表示不变，即当天价格与前一天价 格相同.用频率估计概率.
（1） 试估计该农产品价格上涨的概率.
（2） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取 4天，试估计该农产品价格在这4天中有2天上涨、1天下跌、1天不变的 概率.
【课时目标】 理解样本点、有限样本空间、随机事件；会计算古典概 型中简单随机事件的概率；掌握概率的基本性质及事件的交、并运算.【考情概述】 随机事件的概率及其基本性质是高频考点，常以选择题 或填空题的形式进行考查，难度不大.
（1） 样本点、样本空间：随机试验的每个可能的基本结果称为 ，全体样本点的集合称为试验的 ，用Ω表示.如果一个 随机试验有 个可能结果ω1，ω2，…，ω n ，那么称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ω n }为有限样本空间.
注意：样本点的两个特点：① 互斥性；② 可加性.
（2） 随机事件：随机试验中的样本空间的子集称为随机事件，简 称 .只包含一个样本点的事件称为 事件.当且仅当随机 事件中某个样本点出现时，称为事件 .特别地，Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有 一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件.空集⌀不包含任何 样本点，在每次试验中都不会发生，称⌀为不可能事件.
2. 事件的关系与运算
事件 A 的对立事件记为 .
（1） 频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是 否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事 件 A 出现的比例 fn （ A ）＝ 为事件 A 出现的频率.频率是随机的， 不同的试验，得到频率可能不同.
（2） 概率：对随机事件发生的可能性大小的度量（数值）.给定的随机 事件 A ，由于事件 A 发生的频率 fn （ A ）随着试验次数的增加稳定于概 率 P （ A ），因此用 来估计概率 P （ A ）.
注意：① 概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它 度量该事件发生的可能性；② 频率本身是随机的，在试验前不能确 定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率也不一定相同；③ 在实 际问题中，当试验次数足够多时，频率可近似看作概率.
4. 古典概型（1） 古典概型的特征① 有限性：样本空间的样本点只有 个；② 等可能性：每个样本点发生的可能性 .
5. 概率的基本性质（1） 性质1：任意事件 A 的概率的取值范围是 ；（2） 性质2：必然事件Ω的概率为 ，不可能事件⌀的概率 为 ；（3） 性质3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 A ， B 的和事件的概率 P （ A ∪ B ）＝ ；（4） 性质4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P （ A ）＋ P （ B ）＝ ， P （ A ）＝ ；
P （ A ）＋ P （ B ）
1－ P （ B ）
（5） 性质5：如果事件 A 包含于事件 B ，那么 P （ A ） P （ B ）；（6） 性质6：设 A ， B 是一个随机试验中的两个事件，则 P （ A ∪ B ） ＝ .
P （ A ）＋ P （ B ）－ P （ A ∩ B ）
1. 概率加法公式的推广
若事件 A 是多个两两互斥的事件 A 1， A 2，…， An 的和事件，则 P （ A ）＝ .
2. 三个事件和的概率
设 A ， B ， C 是一个随机试验中的三个事件，则事件 A ＋ B ＋ C 的概率 P （ A ＋ B ＋ C ）＝ .
P （ A 1）＋ P （ A 2）＋…＋ P （ An ）
P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）－ P （ AB ）－ P
（ AC ）－ P （ BC ）＋ P （ ABC ）
回归课本1. （1） （RA二P232定义改编）在一次随机试验中，事件 A 和事件 B 包 含的样本点的个数相等是 A ＝ B 的充要条件.（ ✕ ）（2） （RA二P246习题10.1第3题改编）抛掷两枚质地均匀的硬币，样 本空间Ω＝{（正，正），（正，反），（反，反）}.（ ✕ ）（3） （RA二P245练习第2（2）题改编）如果事件 A 与事件 B 满足 P （ A ）＋ P （ B ）＝1，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件.（ ✕ ）（4） （RA二P266小结问题7改编）在随机模拟试验的次数非常多时， 计算结果是事件的概率.（ ✕ ）
2. （RA二教参P336本章学业水平测试题第1题）甲、乙两个元件构成一 并联电路，设 E ＝“甲元件故障”， F ＝“乙元件故障”，则表示电路 故障的事件为（ B ）
3. （RA二P234例6改编） 一个袋子中有除颜色外都相同的4个球，其中2 个红球，2个绿球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 A 1＝ “第一次摸出红球”， A 2＝“第二次摸出红球”， B ＝“两次都摸出红 球”， C ＝“两次都摸出绿球”， D ＝“两个球颜色相同”， E ＝“两 个球颜色不同”，则下列结论错误的是（ C ）
4. （多选）（RA二P246习题10.1第10题改编）抛掷两颗质地均匀的正六 面体骰子，记下骰子朝上一面的点数.设事件 A ＝“两个点数之和等于 8”，事件 B ＝“至少有一颗骰子的点数为5”，则下列结论正确的是 （ ACD ）
5. （RA二P238例9改编）袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中2 个红球、3个黄球.若从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次颜色不 同的概率为 ；若从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次颜色 不同的概率为 .
考点一 事件的关系例1 从标有1，2，3，4，5的卡片中有放回地依次取出两张卡片，并记 下上面标的数，则下列各对事件是互斥事件，但不是对立事件的为 （ A ）
解：“恰有1个是奇数”与“全是奇数”是互斥事件，但不是对立事件. 故A符合题意.“恰有1个是偶数”与“至少有1个是偶数”不是互斥事 件.故B不符合题意.“至少有1个是奇数”与“全是奇数”不是互斥事件. 故C不符合题意.“至少有1个是偶数”与“全是奇数”是互斥事件，且 是对立事件.故D不符合题意.
1. （多选）（2023·遂宁模考）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机 事件： Ci ＝“点数为 i ”，其中 i ＝1，2，3，4，5，6； D 1＝“点数不 大于2”； D 2＝“点数大于2”； D 3＝“点数大于4”.下列结论中，正 确的是（ ABC ）
考点二 概率的性质例2 （1） （2023·广东模考）在一个质地均匀的正四面体木块的四个 面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记 录每次正四面体木块朝下的面上的数字.记事件 A 为“两次记录的数字之 和为奇数”，事件 B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件 C 为“第二 次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ C ）
（2） （多选）某人从甲地到乙地沿某条公路一共行驶20公里，途中遇 到红灯个数的概率如表所示，则下列结论正确的是（ ACD ）
考点三 古典概型例3 （1） 在3张相同的卡片上分别写上3名同学的学号后，再把卡片 随机分给这3名同学，每人1张，则恰有1名同学分到写有自己学号的卡 片的概率为（ C ）
（2） （2022·南通模考）某校举行校园篮球比赛，共有8支队伍报名参 加比赛，比赛规则是先抽签随机分成两组，每组4支队伍，则甲、乙两 支队伍分在不同小组的概率为 .
[变式演练]在3张相同的卡片上分别写上3名同学的学号后，再把卡片随机分给这3 名同学，每人1张，则没有同学分到写有自己学号的卡片的概率 为 .
2. （2022·济南模考）为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，对 街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街 道），洒水车随机选择 A ， B ， C ， D ， E ， F 中的一点驶入进行作 业，则选择的驶入点能够使洒水车不重复地走遍全部街道的概率为 （ B ）
考点四 概率与频率例4 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 y （单位：万千 瓦·时）与该河上游在六月份的降雨量 x （单位：毫米）有关.据统计， 当 x ＝70时， y ＝460； x 每增加10， y 就增加5.已知近20年 x 的值依次为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160， 160，200，140，110，160，220，140，160.
（1） 完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表
（2） 假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相 同，将频率视为概率，估计今年六月份该水力发电站的发电量低于490 万千瓦·时或超过530万千瓦·时的概率.
（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农 产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用 “＋”表示上涨，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示下跌，即 当天价格比前一天价格低；用“0”表示不变，即当天价格与前一天价 格相同.用频率估计概率.
（1） 试估计该农产品价格上涨的概率.
（2） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取 4天，试估计该农产品价格在这4天中有2天上涨、1天下跌、1天不变的 概率.
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